1.  [20 marks]  Single-period market model

Consider a single-period market model M = (B< s) on the space Ω = (u1 < u2 < u3 }. We assume that the savings account B equals B0  = 1< B1  = 1 + r = 2 and the stock price s is given by s0  = 11 and s1  = (s1 (u1 )< s1 (u2 )< s1 (u3 )) = (24< 20< 16). The real-world probability P is such that P(ui ) = pi  > 0 for i = 1< 2< 3.

(a) Find the class M of all martingale measures for the model M and check if the market model M is arbitrage-free and complete.

(b)  Show that the contingent claim X = (8< 6< 4) is attainable and compute its arbitrage price n0 (X) using two methods:

– the replicating strategy for X ,

– the risk-neutral valuation formula.

(c)  Consider the contingent claim y = (4< 2< -3).

– Find the range of arbitrage prices for y in M. Is the claim y attainable in M?

– Find the minimal initial endowment z for which there exists a portfolio (z< .) with v0 (z< .) = z and such that the inequality v1 (z< .)(ui ) > y (ui ) is satisfied for i = 1< 2< 3.

(d)  Consider the extended market  = (B< s1 < s2 ) where s1  = s and s2  is an additional risky asset given by: s1(2)  = y = (4< 2< -3) and s0(2)  = 1,35.

– Find a unique martingale measure  for the extended market   = (B< s1 < s2 ).

– Compute the price of the claim z  =  (-2< 5< 3) in the extended market  = (B< s1 < s2 ). Is the claim z attainable in ?

2.  [20 marks]  CRR model: European contingent claim

Consider the CRR model with s0  = 100< u = 1,4< d = 1,1 and r = 0,25. Let X be a European contingent claim with maturity date T = 2 and the payoff X given by

X = (s2 - s1 + 4)1{s2 一s1 >15}  =

(a)  Show explicitly that the contingent claim X is path-dependent and compute the arbitrage price process for X using the relationship, which holds for

t = 0< 1,

nt (X) = Bt E ╱  │ rt 、

where  is a unique martingale measure for the CRR model.

(b) Find the replicating strategy . for the claim X and verify if the equality vt (.) = nt (X) is satisfied for t = 0< 1< 2.

(c) Find a unique probability measure  on (Ω < r2 ) such that the process Bs一1

n0 (y) = s0 E ╱ 、,

(d) Let y and z be two European contingent claims with maturity T in the general CRR model with any number T of periods. Assume that the equality nU (y)  = nU (z) holds for some date U such that 0  ←  U  ←  T.   Does this assumption imply that nt (y) = nt (z) for every U ← t s T?

3.  [20 marks]  CRR model: American contingent claim

Consider the CRR model with the horizon date T = 2 and s0  = 8< s1(u)  = 11< s1(d)  = 7, We assume that the interest rate r = 0. Let Xa  be an American claim with the maturity date T = 2 and the reward process (gt < t = 0< 1< 2) where g0  = g1  = 12 and the random payoff g2  equals g2  = (14< 10< 10< 18), that is,

g2 (s1(u)< s2(uu)) = 14<    g2 (s1(u)< s2(ud)) = g2 (s1(d)< s2(du)) = 10<    g2 (s1(d)< s2(dd)) = 18,

(a) Find the unique martingale measure  on (Ω < r2 ) and compute the price process Ca  for this option using the recursive relationship, which holds for

t = 0< 1,

nt (Xa ) = max {gt < Bt E ╱  │rt 、}

with terminal condition nT (Xa ) = g2 . Find the rational exercise time r0(*)  of this claim by its holder.

(b) Find the replicating strategy . for the issuer of the American claim Xa  up to the rational exercise time r0(*)  and verify if the equality vt (.) = nt (Xa ) holds up to time r0(*) .

(c) Find the early exercise premium for the American claim Xa .

(d) Determine whether the arbitrage price n(Xa ) is a supermartingale or a submartingale under  with respect to the filtration F.  Find a probabil- ity measure Q on (Ω < r2 ) under which the process n(Xa ) is a martingale with respect to the filtration F.