[12.7] Let X1  and X2  constitute a random sample from a normal population with σ 2  = 1. If the null hypothesis µ = µ0  is to be rejected in favor of the alternative hypothesis µ = µ 1  (for µ 1  > µ0 ) when  > µ0 + 1, what is the size of the critical region?

[12.8] A single observation of a continuous uniform random variable with pdf

fθ (x) = {,,

if 0 ≤ x ≤ β

otherwise

is used to test the null hypothesis β = β0  against the alternative hypothesis β = β0  + 2.  If the null hypothesis is rejected if and only if the random variable takes on a value greater than β0 + 1, find the probabilities of type I and type II errors.

[12.21] A random sample of size n is to be used to test the null hypothesis that the parameter θ of an exponential population equals θ0  against the alternative that it does not equal θ0 .

(a) Find an expression for the likelihood ratio statistic.

(b) Use the results of part (a) to show that, for some constant K that is dependent on α ,

the critical region of the likelihood ratio test can be written as

{ :  · e −/θ0   ≤ K}

Recall that an exponential random variable has pdf

fθ (x) = {

[12.24] Given a random sample of size n from a normal population with unknown mean and variance, find an expression for the likelihood ratio statistic for testing the null hypothesis σ = σ0  against the alternative hypothesis σ  σ0 .

Also, recall that for a normal distribution with mean µ and variance σ 2  the pdf is

f(x) =

1

^2πσ2

exp(-

 (x - µ)2 )