1.  (Sequences.)  Let a, b, and c be the three constants from page 1, derived from your ID. Fill in the blanks at right with your values for a, b, and c:

cos(π(a + n))      cos(π(        + n))

b . n + c                  . n +         

(a) Write down your values for x1 , x2  and x3  (simplifying as needed.)                                [2 marks]

(b)  Can the monotone convergence theorem be used to prove that the sequence (xn ) converges?

If so, use it to prove that the sequence converges; if not, explain why not.                   [4 marks]

(c) What is the limit of this sequence? Use the squeeze theorem to show that this sequence converges to your claimed limit.                                                                                                      [6 marks]

2.  (Curve sketching.) Let a, b, and c be the three constants from page 1, derived from your ID. Fill in the blanks below with your values for a, b, and c:

f (x) = 2x3 _ 3(a + b)x2 + 6 . a . b . x _ c

= 2x3 _ 3 ╱        +        、x2 + 6 .                   . x _

(a)  Given your values for a, b and c, find f\  and f\\ .                                                           [2 marks]

(b) Find all of the critical points and inflection points of f , and classify the critical points. [5 marks]

(c) Determine where f is increasing, decreasing, concave up1, and concave down.             [5 marks]

Justify your claims and show your working in all of the steps above.

3.  (Limits and multivariable differentiation.)

(a) Let a, b, and c be the three constants from page 1, derived from your ID. Fill in the blanks

below with your values for a, b, and c:

p(x, y) = a . x2y + b . xy _ cy

=         . x2y +         . xy _        y

Use the limit definition of the directional derivative to find the directional derivative of p(x, y) in the direction (1, 1) at the point (0, 2). (Note: points will not be awarded if you use a dot product based formula here. Please use the limit definition!)                                  [4 marks]

(b)  Suppose that p(x, y) = z is the topographical map of a hill you’re standing on, where z is the

height. Suppose you are standing at (0, 2) and walking in the direction given by (1, 1). Are you going uphill, downhill, or staying at the same height, and why?                                   [2 marks]

4.  (Differentiation and integration techniques.) Four tasks involving differentiation and integration are given below.  For each, give a technique you could use to solve the task given, and briefly explain with a sentence or two why your technique looks promising and how you would apply it.

(a)      x cos(x)dx = ?

(b) If F (x) =     cos(x )dx, what is4  F\ (x)?

(c)      ex cos(ex )dx = ?

(d) If F (x) = sin(x-2 ln(x)), what is F\ (x)?

[3 marks] [3 marks]

[3 marks]

[3 marks]

(Note:  you do not actually need to calculate the derivatives and antiderivatives above!  All points here are awarded solely for describing the methods you would employ.)

5.  (The Riemann integral.)  Let a and b be the two constants from page 1, derived from your ID. Fill in the blanks at right with your values for a and b:

f (x) = a . x + b =         . x +

In this problem, we will be studying whether f is Riemann integrable over the interval [0, 1]. Make sure to show your working and justify your steps throughout this problem.

(a) Let mi  be the minimum value of f (x) on the interval [  , ]. What is mi  equal to, in terms of

i and n?                                                                                                                           [2 marks]

(b) Let Mi  be the maximum value of f (x) on the interval  [  , ]. What is Mi  equal to, in terms

of i and n?                                                                                                                       [2 marks]

n     mi

(c)  Let Ln (f ) be the sum         n . What is this sum, in terms of n?

n

(d) Let Un (f) be the sum        n . What is this sum, in terms of n?

(e) What are the limits  lim Ln (f) and  lim Un (f)?

1

f (x)dx?

0

[2 marks]

[2 marks] [2 marks]

[2 marks]