1. Let n 2 N,n  0:

(a)  Show that  <  .  (1 mark)

(b)  Show that  =  −  .  (1 mark)

(c) Use (a) and (b) to show by induction that Pk(n)=1   < 2 −  .  (3 marks)

2. Let X = {1, 2, 3} and Y = {a,b,c,d}.

(a) How many surjective functions are there from X to Y?  (3 marks)

(b) How many injective functions are there from X to Y?  (2 marks)

3. Let f : Z2  ! Z2  be given by f(a,b) = (a + b,a − b). Is f surjective?  (7 marks)

4. Find all complex numbers z such that |z − i| = |z + i|. What object do they represent in the complex plane?   (3 marks)

5. Two planes ⇡1  and ⇡2  in R3  are called parallel if every normal vector to ⇡1  is also a normal vector to ⇡2  and every normal vector to ⇡2  is a normal vector to ⇡1 .

Show that if ⇡1  and ⇡2  are parallel and ax+by +cz +d = 0 is a Cartesian equation for ⇡1 then there exists e 2 R such that ax + by + cz + e = 0 is a Cartesian equation for ⇡2 .  (5 marks)

6. Let f : R3  ! R3  be the linear transformation which is projection onto the XY-plane. Let g : R3  ! R3 be a counterclockwise rotation about the Z-axis over an angle  .

(a) What is the matrix corresponding to g ◦ f?  (2 marks)

(b) If g ◦ f invertible?  (1 mark)

(c) Is g ◦ f = f ◦ g?  (2 marks)

7. Let B1   =  {v1 , . . . ,vn} and B2   =  {w1 , . . . ,wn} be two bases for Rn .   By Proposition 2.3.9.   in the coursebook there exists a unique linear transformation T : Rn ! Rn such that T(vi) = wi , Ai 2 {1, ··· ,n}. What is (if it exists) the inverse of T?  (4 marks)