1. The Catalan constant The Catalan constant c defined as

I       (-1)k                1        1        1 

c =        (2k + 1)2  = 12  - 32  + 52  + . . . ≈ 0.915965594177219

is a mathematical constant named after the French and Belgian mathematician Eug`ene Charles Catalan.  Despite its appearance in many seemingly unrelated integrals and functions, basic questions like whether it is irrational or not are still open.  In many situations, it is more convenient to approximate complicated constants like this by a rational approximation.

You are asked to find the best such approximations p/q such that |  - c| is smallest among all possible positive integers p and q such that p + q is smaller than or equal to a given positive integer.

Task A: Write a function AppCat such that [p,q]  =  AppCat(N) returns the best pair of integers p and q, such that |  - c| is smallest amongst all positive integers and p + q is less than or equal to N . Record your result for N = 2022. Note: you can just copy the above value of the constant with fifteen decimal points, otherwise you have to call the symbolic constant and convert it into double precision via:

catconst  =  double(catalan)

The first few lines of your code should look like:

function   [ p   ,  q  ]  =   Appcat   (  N   )

% APPCat   Approximates   the   catalan   constant   by   the   rational   number   p / q

%   APPCat   Approximates   the   catalan   constant   by   the   rational   number

%  p   / q   ,   among   all   pairs   of   positive   integers   ( p   ,  q   )   such   that   p  + q   <=  N

catconst   = 0 . 9 1 5 9 6 5 5 9 4 1 7 7 2 1 9

Notes:  (a) you can assume that N is a positive integer greater than one and there is no need to check the validity of the input;  (b) if there are more than one pair of numbers (for instance, when the input integer N is 6, both pairs [1, 2] and [2, 4] give the best approximation), return the pair with the smallest p + q .

2.  Cubic taxicab numbers A cubic taxicab number is a positive integer that can be expressed as the sum of two positive cube numbers in two or more distinct ways, for example

1729 = 13 + 123  = 93 + 103 .

Task B: Write a function  CubicTaxicabNum such that   [a,b,c,d,M]  =  CubicTaxicabNum(N) returns the smallest cubic taxicab number M = a3 + b3  = c3 + d3  say greater than or

equal to N , and the four values a, b, c and d. (You can assume the input N is a positive integer). Record your output for N = 36031.

function   [a ,b ,c ,d , M ]  =   C u b i c T a x i c a b N um   (  N   )

% CU B I C TA X I C A B NU M   returns   the   smallest   cubic   taxicab   number   M

%   CU B I CT AX I C A B NU M   returns   the   smallest   cubic   taxicab   number

%  M = a ^3+ b ^3= c ^3+ d ^3   greater   than

%   or   equal   to   N

%

Task C: Suppose now that we define Tn to be the smallest integer that can be expressed

as the sum of two positive integers cubed in n distinct ways. As an example T0  = 2 = 13 + 13 ,    T2  = 1729 = 13 + 123  = 93 + 103 .

Use or modify your codes for Task B to find T3  outputting the corresponding pairs of integers.

Additional Information

❼ All coding must be done in MATLAB and you are required to submit your MATLAB

functions and M-files via the Blackboard submission box. Project reports in pdf form only should be submitted via the Turnitin submission box.  Remember the Turnitin software will automatically scan reports for plagiarism.

❼ Please ask if you need help on any commands, or whether there are built-in command-

s/functions to accomplish certain tasks (especially important if you think you have a good approach to the questions, but do not know the related commands).

❼ The default datatype is double (decimal number), and be aware of possible side effects

when using the numbers as integers. Remember that the same question can be solved by different approaches, and the same approach can be implemented in different ways. All relevant commands should be covered during the lectures or tutorial exercises, but you are free to explore your own.   Make critical judgement to choose the best approach/implementation.

❼ Aim for efficiency of the code, which is an additional marking criteria, besides the

generic rubric.   Although you only need to record the answer for the given input, make sure that the computational time or memory does not increase significantly with larger input parameters (these issues will be mentioned constantly during the class demonstrations).

❼ List the complete code of the whole function at the end of each question, or in an

appendix.   Make your source code more readable,  by keeping the indentation and stylistic features, and can be copied from the electronic file.

❼ The results reported in your report must be reproducible from your codes. Remember

that markers will be able to run the codes in case of any doubts and any inconsistencies between reported results and actual results from running codes will lead to reports being marked down.