1)          Modeling a Physical System

Consider the geometry and loading shown in Figure 1.  The stress intensity factor calibration

for such a configuration is given by the following formula:

KI  =  f(a/ w)                                                               (1)

where f(a/w) is a monotonically increasing function, M is the applied moment and G is a constant .

Figure 1

i)   The geometry and loading shown in figure  1 might be a model for an actual physical problem .

a) Give an example of one such physical problem .

b) What are the assumptions made in the model that are different from the physical problem you described in part (a)?  (Note: the difference might be geometrical, material idealization, load application etc .)

ii) Assume that the model represents a rectangular cross-section beam (without the crack) of width B, and made of steel having a yield strength of GY .  What is the maximum moment that can be applied to the beam before a plastic "hinge" is formed?

What is the maximum moment that can be applied to the beam (with a crack) before fracture occurs (use a KIC criterion)?  How is a strength criterion different from a fracture criterion? – Make your answers as thorough as you can .

2)  Crack Tip Stress Field

a) Consider the problem of a crack in an infinite space (figure 2) .  By solving the complete elasticity problem  we  get  the  stress,  strain  and  displacement  fields  everywhere  in  the region .  The exact elastic solution for the Gyy component of the stress field on the line y = 0

Derive the stress intensity factor for the given configuration using the above stress field .

[Note: the solution for this configuration is KI= G¥ Ö(pa) and is in your notes; In general, to find the stress intensity factor for a given configuration, the complete solution (either analytic or numeric) is first obtained and the stress intensity factor is then deduced from the complete solution] .

b) Plot the complete stress distribution for Gyy  (x,y=0) for 1 < x/a < 3. [i .e . (Gyy  / G¥) vs . (x/a)] .  Plot the crack tip asymptotic stress field (Gyy component) on the same graph .  Use a computer program that you are comfortable with to make the plots . Compare the "exact" versus the "asymptotic" field .

c) Where is the outer limit for the zone of validity of the KI field? (take as an acceptable tolerance in the stress field a value of 10%, i .e . [(Gexact - Gapprox .)/G exact] < 0 . 10) .

d) Given that the material having the crack is  18 Ni  - maraging  steel with  a fracture toughness KIC = 113 ksiVin, calculate and plot the residual strength for this structure with

crack lengths ranging from 0 up to 2 in .

σ∞

σ∞

Figure 2