1.  Consider the measurements (x1 , x2 ) in the following table

(a)  Calculate the sample means x¯1 , and x¯2 , and

(b)  The sample variance-covariance matrix (S).

 2.  Let X ∼ N3 (µ,Σ) with µ\   = [2, −3, 1], and Σ =  l 1(1)   3(1)

「1    2

(a)  Find the distribution of Y = 3X1 − 2X2 + X3

3.  Let X ∼ N3 (µ,Σ) where µ\   = [1, −1, 2], and Σ =  「(l)1        Which of the following random variables are independent? Show your work.

(a)  X1 , and X3

(b)  (X1 , X3 ), and X2

(c)  X1 , and X1 + 3X2 − 2X3

4.  Suppose, X1 , . . . , X60  be a random sample of size 60 from a four-variate normal distribution having mean µ, and covariance Σ . Specify:

(a)  The distribution of 

(b)  The distribution of n( − µ)\ Σ − 1 ( − µ)

5.  Suppose that X = [X1 , X2 , X3]  ∼ N3 (µ,Σ) where, µ =  「(l)2(3)  and Σ =  「(l)      

(a) What is the marginal distribution of (X1 , X3 )

(b) What is the conditional distribution of (X1  given (X2 , X3 )

Let A = ], and B = ]

(c)  Compute Cov(AX)), and Cov(AX, BX)

6.  Suppose that X = [X1 , X2 , X3 , X4]  ∼ N4 (µ,Σ) where,

l 3」                 l 」

 2                   

(a) What is the marginal distribution of X1 , X4

(b) What is the conditional distribution of (X1 , X2 ) given (X2 , X4 )

Let A = ], and B = ]

(c)  Compute Cov(AX)), and Cov(AX, BX)

7.  A random sample of size N =20 from a N2 (µ,Σ = [1.1(75) bution yields x¯ = [17(2.)6]

1.20(1)]) distri-

\                                                                                    \

F2 ,18 (0.05) = 3.5545,    F2 ,18 (0.10) = 2.6239   F2 ,18 (0.01) = 6.0129

8.  A researcher has applied 4 different combination of treatments on 10 ex- perimental fields to their effect on rice production. The treatment combi- nations are following:

Treatment 1 = Fertilizer type 1 and rice variety 1 Treatment 2 = Fertilizer type 2 and rice variety 1 Treatment 3 = Fertilizer type 1 and rice variety 2 Treatment 4 = Fertilizer type 2 and rice variety 2

The research intend to study the effect of fertilizer and rice variety based on the rice production.   There are three treatment contrast that is of interest in this experiment. And let the µ 1 ,µ2 ,µ3 ,µ4  corresponds to the mean responses for treatments 1, 2, 3, and 4.  The following hypotheses are made based on experience/research interest.

µ3 + µ4  = µ 1 + µ2

µ 1 + µ3  = µ2 + µ4

µ 1 + µ4  = µ2 + µ3