Homework 1 (Due 8:40pm, Sept 22.  )

1.  Give a real world example of A/B testing.  Describe this example with details (less than 2 pages).  If you are asked to design this A/B testing (your example), please list the important factors you would like to include in your design and explain the reasons.

2.  We would like to measure the weight of eight subjects Y1 , ..., Y8  by using a scale eight times. We know that there is a error of the scale. Suppose that the error follows a normal distribution with mean 0 and variance σ 2 .  Errors on different weighings are independent. Please design this experiment; give the estimators of these eight subjects and the distribution of these estimators.  You should try to minmize the variances of these estimators.

Homework 2 (Due 8:40pm, Oct 6.  )

1.  Consider the case of two simple proportion with expectations πA  and πB , We wish to plan a study to assess healing with an investigational drug (A) and placebo (B).

(i) Derive the basic expression relating sample size and power for the two-sided test of difference of probabilities of healing between the two groups. Assume that nA  = nρ and nB  = n(1 − ρ). (please use asymptotical normality of your test statistics )

(ii) Prior studies suggest that the control healing rate is 30 present.   Investigateors believe that a minimal, clinically meaningful increase in healing on the experimental therapy is 10 present. For 80 present power and 0.05 Type I error, compute the number of patients need, assuming equal allocation (ρ = 0.5).

(iii) In part (ii), calculate the sample sizes for ρ = 0.6 and ρ = 0.8.

(iv) If there are about 20% missing data in the clinical trial, do you need to adjust the sample sizes in (ii) and (iii)? How to adjust the sample sizes?

2. Using each of the following procedures, generate a separate randomization sequence for 50 random allocations to two groups (A and B).

(i) Complete randomization;   (ii) truncated binomial design;

(iii) permuted block design with block size 4;

(iv) permuted block design with block size 6;

(v) Efron’s biased coin with p = 2/3;

(vi) Efron’s biased coin with p = 4/5.

Provide the sequence and a copy of your program (use R) for each of the six proce- dures.

3.  After 10 patients have been randomized, D10  = 2.  Computer the probability that patient 11 will be assigned to treatment A for the following randomization procedures:

(i) Complete randomization;   (ii) truncated binomial design;

(iii) permuted block design with block size 4;

(iv) permuted block design with block size 6;

(v) Efron’s biased coin with p = 2/3;

(vi) Efron’s biased coin with p = 4/5.

4. Numerical study: Based on 1000 replications, for sample size 100 and 200, simulate the imblance (D(n)) and the predictability of a sequence (Ppred ) for the following ran-domization procedures: