1.   (10 points)   Determine whether the following sequences converge or diverge.  If they converge, find their limit. If they diverge, state whether they diverge to +● , -● or because they oscillate. Justify and show all your work.

(a)

an  = cos(n)

(b)

an  = sin ╱  、

(c)

an  = ln (2n + 3) - ln (3n + 2)

(d)

an  = cos ╱  、

(e)

cos(n)

n

(f)

an  = (-1)n 

(g)

an  = ╱  、 n

(h)

(-1)n

an  =    6n

(i)

an  = ln ╱  、

(j)

ln(n)

n

(k)

an  = 

(l)

an  =

en - 1

(m)

sin(n)

en

(n)

sin(n)

n!

(o)

an  = ln (3n2 + 1) - ln (n + 1)

2.   (10 points)   Determine whether the following series converge or diverge.  If a series converges, find its sum.  Justify and show all your work.  Name any test you are using.

(a)

良    ╱  、 n

(b)

良   (-3)n + 3n

10n

n≠〇

(c)

良   (-1)n

6n

n≠〇

(d)

良    ╱sin ╱  、 - sin ╱ 、、

(e)

1      

n(n + 3)

n≠1

(f)

良       3n

(g)

3.  (10 points)  Determine whether the following series converge or diverge.  Justify and show all your work.  Name any test you are using.

(a)

良        n     

n3 + 5n

n≠1

(b)

良   arctan(n)

n1.2 - 6

n≠1

(c)

良   6n + n

5n - 9

n≠1

(d)

n 

n!

n≠1

(e)

良   (-1)n

n≠1  n + 8

(f)

1     

n(ln n)

n≠2

(g)

良   ln(n)

2

(h)

良       n    

2n + 5

n≠1

(i)

良   (-1)n

n≠2    ln n

(j)

良    ╱ 、2

(k)

良   ln ╱  、

(l)

4 

n1.1

n≠1

(m)

良   (-1)nn

ln n

(n)

1 

en

n≠1

(o)

1      

n(n + 1)

n≠1

(p)

1    

n≠1 n + 1

(q)

良

e ìn - e ì _n＋1)

n≠1

(r)

n     

n3 + 5n

n≠1

(s)

1 

n≠1 n!