Exercise 1:  Linear independence

For each of the following matrices, determine which response is correct.

(a)

l  「1047    45     −471

• The columns are linearly independent

• The columns are linearly dependent.

• This is not an appropriate question.

(b)

768       1121 −2095    −9284 4093     −3490

834       1428

• The columns are linearly independent

• The columns are linearly dependent.

• This is not an appropriate question.

Exercise 2:  Difference from trailing three-day rolling average

The n-vector p gives the daily time series of the price of an asset over n trading days, with n ≥ 4 The (n − 3)-vector d gives the difference of the current asset price and the average asset price over the previous three trading days, starting from the fourth day.  Specifically, for i = 1, ...,n − 3, we have di  = pi+3  − (pi  + pi+1  + pi+2)/3.  (Note that d is an (n − 3)-vector.)  Give the matrix A for which d = Ap, for the specific case n = 6. Be sure to give its size and all entries.

Remark.  Time series similar to d are used in some simple trading schemes, which buy or sell the asset depending on whether the price is high or low compared to a trailing multi-day rolling average.

Exercise 3:  Linear functions of images

In this problem we consider several linear functions of a monochrome image with N × N pixels. To keep the matrices small enough to work out by hand, we will consider the case with N = 3 (which would hardly qualify as an image).  We represent a 3 × 3 image as a 9-vector using the ordering of pixels shown in Figure 1.  (This ordering is called column-major.)  Each of the operations or trans- formations below defines a function y = f(x), where the 9-vector x represents the original image, and the 9-vector y represents the resulting or transformed image. For each of these operations, give the 9 × 9 matrix A and the transformed image y for which y = Ax.

Figure 1: Column-major ordering of pixels for a 3 × 3 image.

(a)  Rotate the original image x clockwise 90 degrees.

(b)  Set each pixel value yi  to be the average of the neighbours of pixel i in the original image. By neighbours, we mean the pixels immediately above and below, and immediately to the left and right.  The centre pixel has 4 neighbours; corner pixels have 2 neighbours, and the remaining pixels have 3 neighbours.