Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Stochastic Foundation of Finance (FIN 538)

Problem Set 2

Problem 1  Consider the random walk approximation t  of the Brownian motion in LN1 with 2 time steps, that is

0  = 0

1  = X1

2  = X1 + X2

Denote an upward move of the random walk by + and a downward move by -, each of whcih happens with probability   .   Here X1   and X2   have identical and independent distribution as follows: Xi  = ∆ for an + move, and Xi  = -∆ for an - move, i = 1, 2.  Similar to Example 1 of LN1, consider the following sample space

Ω = (++, +-, -+, --}

1. Describe i , i = 0, 1, 2 as maps from Ω into the set of real numbers R.

2. Find the σ-algebra generated by i  for each i = 0, 1, 2.

3. What is the smallest σ-algebra F that makes i , i = 0, 1, 2 a random map?

4. What is the probability measure P defined on F that tells us how likely an event in F happens? Describe P as a map from F into [0, 1].

Problem 2  Modify the Excel file ”NormalApprox100.xlsx” posted on Canvas to plot the distri- bution of 1 where t  is the random walk that approximates the Brownian motion on the interval t e [0, 1], with increments dt = 0.001. Calculate the mean and variance of 1 .

Problem 3 Let Bt  be a Brownian motion.

1.  Calculate 匝[Bt Bs] for t > s where Bt  .

2.  Calculate Var[Bt + Bs] for t > s where Bt .

3.  Calculate 匝[(Bs - Bt )4], s > t > 0.