Instructions:

Your mathematical work should be neat, clear, of reasonable size, easy to read and well organized. If I can’t read your work, and/or I can’t figure out which step follows which, I can’t give you credit for you work.

Hand-drawn sketches should be neat, clear, of reasonable size, with axis and tick marks appropriately labeled.  All figures should have a short caption explaining what they show and describe.  Any figure without a caption will not be graded.

Scan to pdf, combine to a single document, and upload your work to Canvas.

Important Concepts:

● You should be able to differentiate between overdamped, critically damped, and underdamped from the roots of the characteristic equation or from a plot of the solution.

● You should be able to describe in words the effect that changing the mass, damping or spring constant has on the resulting motion.

Note, for each of the figures turned in, be sure to adjust the axis (axis([ tmin tmax xmin xmax])) so that the solution fills most of the figure.

Problems:

1.  Consider the unforced mass-linear spring system

mx\\ + bx\ + kx = 0,    x(0) = x0 ,    x\ (0) = v0

(a)  Solve the characteristic equation for the values of T .

(b)  Set k = 1 and b = 0.1. Then for m = 0.5,  1, 2 find the values of T and state whether they indicate over- or under-damped behavior.

(c)  Assume that the mass is pulled down 1 unit, held at rest, then released. What are the ICs?  (Use these ICs below).

2.  Using the same ODE and ICs from above, set k = 1 and b = 0.1 and simulate (matlab or python) for m = 0.5,  1, 2.

(a)  Does the system exhibit underdamped or overdamped behavior?

(b)  Describe how the resulting motion changes as m is increased making note of the frequency and the evolution of the amplitude. Two or three sentences will suffice.

(c)  Explain how your observations are consistent with the analytical solution found in (a).

(d)  Plot and turn-in the case of m = 2.

3.  Now increase the damping by setting k = 1 and b = 2 and simulate for m = 0.5,  1, 2.

(a)  Does the system exhibit under- or over-damped behavior?

(b)  Describe how the resulting motion changes as m is increased making note of the rate of decay.

(c)  Explain how your observations are consistent with the analytical solution found in 1(a).

(d)  Plot and turn-in the case of m = 0.5.

4.  Consider the unforced and undamped mass-spring.

x\\ + x = 0,   x(0) = x0 ,  x\ (0) = v0                                                                         (1)

(a) Solve the equation by hand, apply the initial conditions, and rewrite in amplitude-phase form. Suppose x0  = 1 and v0  = 0, what is the resulting amplitude? Suppose x0  = 0 and v0  = 1, what is the resulting amplitude? Simulate using matlab for each case and confirm your simulations are consistent with your analysis (no plots to turn in).

(b) Because there is no friction/resistance/damping (b = 0) the Energy in the system is conserved. To see this work through the following steps (analytically, i.e., by hand calculation):

● Multiply the differential equation (1) by x\ (t) to obtain

x\ x\\ + xx\  = 0                                                               (2)

● Notice that x\ x\\  = 1/2[(x\ )2]\ and xx\  = 1/2(x2 )\ . Thus, show that the equation can be integrated

to obtain

 [x\ (t)]2 + x(t)2  = C

(3)

● The Kinetic Energy is 1/2[x\]2  and the Potential Energy is 1/2x2 . How does the result in Eq. (3) exemplify conservation of energy.

(c) Apply the initial conditions x(0) = x0  and x\ (0) = v0  to determine the constant C .  Discuss why the motions in (a) are either the same or different based on their energy.

5. We’re now going to consider two coupled mass springs.  We’ll start by working out the model, again considering Newton’s law for the sum of the forces.

● Mass × acceleration for the first mass is m1 x .  We need to figure out what are the forces, i.e., m1 x =?.

● Gravity:  The mass are rolling on a surface and moving left and right.  Hence, we don’t have to worry about gravity.

● Friction:  We will assume some amount of friction in the rollers.  Friction always acts to oppose motion. Thus, Ff  = 一b1 x .

● Spring on the left:   As  x1   increases  (positive) the spring will pull the mass back to the left (negative). Assuming Hooke’s law for the spring we have Fs1  = 一k1 x1 .

● Spring on the right: If the spring is stretched, i..e., (x2 一 x1 ) is positive, the it pulls the mass to the right. Thus, Fs2  = +k3 (x2 一 x1 )

● For the second mass the process is the same except that if the middle spring is stretch, i.e., (x2  一 x1 ) is positive, then it pulls m2  to the left, and left is negative.  So for m2  we would have Fs2  = 一k3 (x2 一 x1 ).

Putting the above together with m1 x = Ff  + Fs1 + Fs2  and similarly for the second mass we have

m2 x    =    一b2 x2 一 k2 x2 一 k3 (x2 一 x1 )

(4)