Overview

• Constructing BC under different models

• In the interest of time, once the Lagrangian has been set up, I will simply state the answer

• Pareto efficiency and Market clearing

Q0- Some important things

How do we deal with inequality constraints ? We could just test every scenario and see which is optimal, but that can be very time consuming

How are we able to sometimes go from inequality constraints to equality constraints? This was explored in Q8 in the first tutorial.

• If we can somehow deduce that λ > 0, then by the complementary slackness condition the related constraint must bind and be satisfied at equality.

• We can also sometimes deduce whether a constraint binds by assuming one scenario is optimal and considering whether there any feasible shifts that are more optimal.

The general methodology for the problems in this subject is as follows

• Construct the budget constraint

• Solve the constrained maximisation problem

• When there are multiple individuals, there is a market and that market must clear (i.e. supply = demand)

• Check for Pareto efficiency - are the utilities co-linear

Q1 - Lagrange multiplier as the shadow price of income

This is just a repeat of a question last week, but now with a different utility.  The utility given is

u(x1 ,x2 ) = x1 x2

The income is M and the prices are p1 ,p2 . We can the construct our BC. x1p1 + x2p2  = M

Now that we can write out our optimisation problem

max x1 x2  s.t. x1p1 + x2p2  = M

x1 ,x2

We can write out the Lagrangian

L = x1 x2 − λ(x1p1 + x2p2 − M)

We can then take first order conditions

Lx1   = x2 − λp1  = 0                                                     (1)

Lx2   = x1 − λp2  = 0                                                     (2) Lλ  = x1p1 + x2p2 − M = 0                                               (3)

We can now solve simultaneously for our demands.  One way is to find λ first.  We have x2  = λp1 , x1  = λp2 , we can substitute these into the BC and we have

λ =

We can then use λ to find our demands

x 1(∗)  =

x2(∗)  =

(4)

(5)

(6)

The optimal

utility

is then

u∗ =

(7)

We can take the derivative of the optimal utility with respect to the income M and see that it equals our value of lambda as we found last week.

=           = λ

(8)

This only confirms what we know from lectures and last week’s tutorial, that the impact of

income on the optimal utility is always the Lagrange multiplier.

Q2 - Constructing the Budget Constraint

Please see the exercise 2.2 of the textbook and do the full question in your own time - there are worked solutions on Canvas.  I go through the start of the question where the BC is constructed from an endowment and prices.

We have the endowment ω = (3, 2) and the prices p = (1, 2), the budget constraint is as always, the amount she demands must equal the amount she can supply, that is

x1p1 + x2p2  = ω 1p1 + ω2p2

We can write the above more succinctly as

x · p = ω · p

It is important in each of the models that we go through that you understand how to construct the BC. Without it, you won’t be able to do any constrained optimisation .

Q3 - Two time periods

The process in this question should be quite familiar from second year economics, the new element we are introducing is the Lagrangian.

(a)   We are given the following utility, where 6 is the discount factor

u = lnx1 + 6 lnx2

We set p2  = p and p1  = 1 for simplicity, we now construct the BC.

In the first period, you can either consume or save

p1 x1  = p1 ω − s  =⇒ x1  = ω − s

In the second period you can only consume equal to what you have saved.  Let ρ be the gross interest rate

p2 x2  = sρ  =⇒ px2  = sρ

We can rearrange either BC to make s the subject and substitute it into the other to

get our lifetime BC

x1 +        = ω

The ρ reflects the fact that interest makes future consumption cheaper. Now that we have the utility and the BC we can setup our Lagrangian

px2

ρ

Then, we can derive F.O.C and solve for the optimal demands as well as the optimal savings level

ρsω   

x =

ω   

x  =

δ    

1 + δ

(b)   The exact same process but with a different utility.  Please do in your own time for

practise.

Q4 - Exchange Economy

Consider if there are two agents (A and B) with endowments and two goods (1 and 2). They give us the following

UA  = α lnx1(A) + (1 − α)lnx2(A)

UB  = α lnx1(B)  + (1 − α)lnx2(B)

ω 1(A) + ω1(B)  = ω 1

ω2(A) + ω2(B)  = ω2

(a)   They want us to find the equilibrium. For simplicity we set p2  = 1,p1  = p. Let’s first

look at agent A:

A’s BC

px1(A) + x2(A)  = pω 1(A) + ω2(A)

We can now solve the constrained optimisation problem to find A’s optimal demands

x1(A)  = (1 − α)(pω1(A) + ω2(A))

x2(A)  =  (pω1(A) + ω2(A))

Because A and B differ only in that their variables are indexed by a different letter, we have also found B’s demands, which would be exactly the same except with B instead of A.

The demands we have found are called conditional demands because they depend on the price which we have yet to solve.

To solve for the equilibrium price we now apply the market clearing condition. Which is, that the supply of each good must equal the demand for each good.

x2(A) + x2(B)  = ω2

x1(A) + x1(B)  = ω 1

We can choose either clearing condition, substitute our demands in and re-arrange for

the equilibrium price p∗ .

α    ω2

p ∗  =

We could then use this equilibrium price to find our equilibrium demands or even equilibrium utilities.

(b)   When is the exchange Pareto efficient, that is, when is the total surplus maximised

such that no one can increase their utility without hurting another? The Pareto efficient utility solves the following problem

maxuA  s.t.uB  ≥ 

In order to solve the above problem, agent B’s utility uB  needs to be in terms of agent A’s choice variables x1(A),x2(A)

uB  = α ln(ω1 − x1(A)) + (1 − α)ln(ω2 − x2(A))

We can assume equality constraints and from the Lagrangian we find the following

x2(A)          ω2

x1(A)         ω 1

α

u北2(A)   =   x2(A)      =   x1(A)    ω2

(c)   What can be said about equilibrium prices at the Pareto allocation?  From part (a) and (b) we have

p1                       α    ω2

p2                   1 − α ω 1

α/x1(A)

=  1−α ω 1

北1(A)   ω2

u北1(A)

=

= MRS北1(A)北2

At Pareto efficiency the price ratio equals MRS. As this is true for each consumer we have

MRSB  = MRSA

This condition of course cannot be applied when we have more than two goods and so for n goods we have that the following is equivalent to Pareto efficiency

u(u)北(北) = k,    Ai    (Co-linearity of Utilities)

Q5 - One good over two time periods

The question is the same as Q4 except, there, good one and two are two goods in the same period, while here good one and two are the same good in two periods.

Q6 - Contingent Claims

A contingent claim is essentially a claim for a certain payment contingent on the state of the world.

We consider the same consumers A and B but now there is uncertainty over the state of

the world on date 1 - they write contingent contracts in date 0 on date 1 to maximise their utility. Notice the similarities with the other models we have studied, the two goods now, is the same good in either state of the world.

State 1: ω1(A)  = 6, ω1(B)  = 2

State 2: ω2(A)  = 0 ω2(B)  = 12

(a)   What is the consumer choice problem they face?   Let p1   be the price for state  1

consumption, while p2   be the price for state 2 consumption.   We also let b1(A)   be a contingent claim by A in state 1.

Our first step is always to construct the BC - we do it for agent A first.  At t = 0 at the time of swapping claims, the amount an agent gives out must equal the amount takes. Here, a negative contingent claim is one that is promised to someone else, while a positive claim is one that is promised to them.

p1 b1(A) + p2 b2(A)  = 0

Then, in each state, the individual consumes what is endowed plus or minus contingent claims.

x1(A)  = b1(A) + ω1(A)

x2(A)  = b2(A) + ω2(A)

Combining these three we get a single BC

p1 x1(A) + p2 x2(A)  = p1 ω 1(A) + p2 ω2(A)

We can normalise p2  = 1 and p1  = p and then rewrite our BC more simply as px1(A) + x2(A)  = pω1(A) + ω2(A)

This single BC is as before, it reflects that the agent only consumes exactly what he has - but now, the agent can freely consume his endowment in any state that she chooses rather than just in the state in which it is endowed.

As we have utility and BC, we can then form and solve the Lagrangian. That process gives us

x1(A)  = 8α

x2(A)  = 6(1 − α)p