a)  Estimate the electron density in the CB at room temperature (300 K) for pure (intrinsic) Si and diamond, knowing that their band gaps are  1.12 and 5.50 eV, respectively (assume the same effective density of states for Si and for diamond).

b)  Compare the results of a) with the fraction of valence electrons that participate in conduction at 300 K for Na (body-centred cubic structure with unit cell parameter

4.29 Å).

Model answer

a)

The  concentration  of  conduction  electrons  for  an  intrinsic  semiconductor  (pure material) can be estimated from the formula:

n = NC eEg  / 2kT ,

where Eg is the semiconductor band gap and NC is the effective density of states and is assumed to be a constant which, for Si at room temperature, is equal to ~ 1025 m-3 (the

same value is assumed also for diamond).

At room temperature, for Si we can thus write:

nSi  = 1025  e1. 12/(20.0256)  = 3. 161015  m-3,

and for diamond:

ndiamond  = 1025  e5.5 /(20.0256)  = 2.221022  m-3 .

b)

The concentration of fraction of valence electrons that participate in conduction at temperature T in a metal can be evaluated by following the procedure described in exercise 2.2.

In the simplest approximation, the energetic region where the Fermi-Dirac distribution is significantly different form either 0 or 1 is equivalent to an energy interval of 2kT, on each  side of EF. This results in a fraction of valence electron participating in conduction of ~1.6% (see exercise 2.2).

So  we  must  now  determine  the  total  density  of valence

electrons for Na. Na has one valence electron per each atom.

The atomic density of Na can be evaluated by considering its

crystal structure, body-centred cubic. There are 2 atoms for

each unit cell and therefore the number density for Na is:

pNa  =  = 2.53 1028  m-3 .

As a consequence, the concentration of valence electrons is

nNa  = 2.531028  m-3 .