Evaluate  the  fraction  of valence  electrons  that  participate  in  conduction  at  room temperature (T = 300K) in sodium.

Hint: assume a constant density of states and a value for the Fermi level of sodium of EF  = 3.17 eV.

Model answer

If the density of states, N(E), is assumed to be constant, the density of occupied states, N(E)f(E,T), is just proportional to the Fermi-Dirac distribution, f(E,T). At non-zero temperature, the Fermi-Dirac distribution is given by the following graph:

Figure 1

The valence electrons that participate to electrical conduction are only those who can access states of higher kinetic energy under the influence of an electric field. Since the energy gained by an electron under the action of an electric field, Edrift, is significantly smaller than EF  (see lecture notes), the electrons that participate in conduction must have an energy in the shaded region in the graph of Figure 1.

Assuming a constant density of states, the answer to the problem is thus given by the ratio  between  the  shaded  area  (proportional  to  the  number  of valence  electrons participating   in   conduction)   and  the  total   area  under  the   Fermi-Dirac   curve (proportional to the total number of valence electrons).

So, the first task is to evaluate the extension of the shaded area. This can be done in more than one way.

Method 1

The simplest approximations is what we have seen in the lectures, i.e. considering that the energy region wheref(E,T) is significantly different fromf(E,T=0) is approximated by the interval of 2kT, right and left with respect to EF. In other words, this is equivalent of considering the grey-shaded region in Figure 2:

Figure 2

Due to the symmetry of the Fermi-Dirac distribution, the black hashed area in Figure 2 has the same extension as the red hashed area in Figure 3, i.e. an extension equal to 2kT 1.

Figure 3

On the other hand, again because of the symmetry of the Fermi-Dirac distribution, the total area under the Fermi-Dirac curve is equal to  (EF ) 1 and thus the ratio we are trying to express is given by

 =  =  ×  = 1.63 × 10 −2  = 1.62%

Method 2

A slightly more precise evaluation of this fraction can be obtained by approximating the grey area in Figure 1 with the black hashed area in Figure 4 below, i.e. we will limit the energy range to those states having an occupation probability lower than 0.9 and

higher than 0.1. This is equivalent to considering only the energy range between E0.9 and E0.1, where f(E0.9) =  0.9  and f(E0.1) =  0.1. The  fundamental  idea behind this approximation is that electrons in an energy state with occupation probability higher than 0.9 have only very few empty states where they can be promoted to, while there are very few electrons in an energy state with occupation probability smaller than 0.1 (see the Appendix for a demonstration that this approximation is reasonable).

Figure 4

Due to the symmetry ofthe Fermi-Dirac distribution, the black hashed area in the Figure 4 has the same extension as the red hashed area in Figure 5, i.e. an extension equal to (EF  一 E0.9 ). 1 .

Figure 5

On the other hand, again because of the symmetry of the Fermi-Dirac distribution, the total area under the Fermi-Dirac curve is equal to  (EF ). 1 and thus the ratio we are

trying to express is given by EF E(一)

We must thus derive an expression for E0.9 . This is simply done by recalling thatf(E0.9) = 0.9, or, using the explicit expression of the Fermi-Dirac distribution

f (E) =

, by writing that

= 0.9 .  As a consequence,

By taking the logarithm of this expression:

E0.9   EF kT

Thus

= ln (0. 11) = 2.2 .

EF   E0.9   = 2.2kT ,     which,

As a consequence,

for T = 300K, is equivalent to  EF   E0.9   =  0.057 eV.

=  = 1.8% .

Appendix

In the following, we will demonstrate that the approximation made in Method 2 of considering only states with occupation probability between 0.9 and 0.1 is reasonable. Let us, for example, extend the considered interval ofstates to all those with occupation probability between 0.99 and 0.01.

Figure 6

Very similar calculations to those described above can be performed also in this case, this time consideringf(E0.99) = 0.99, which would result in

 = ln (0.01) = 4.6 , which, for T = 300K, would be equivalent to  EF   E0.99  = 0.12 eV, and, as a consequence,   =  = 3.8% .