1.        An FIR filter with symmetric or antisymmetric coefficients will have linear phase.  Show   that for such a filter the zeros will either be 1) at z = 1, 2) at z = - 1, 3) in reciprocal pairs on the real axis, 4) in conjugate pairs on the unit circle or 5) in reciprocal conjugate quads.      Hint – For symmetric coefficients show that

H(z) = z − M (H(z − 1 ))

and examine the zero locations.

(2 marks)

2.        Design a Band Pass FIR filter to meet the following specifications using the window method. Select and justify your choice of window from this list: Rectangular, Bartlett, Hann, and Blackman.

Fs  = 40 kHz

F0 = 2kHz (60dB down)

F1 = 3.0kHz (3dB down)

F2 = 5.0 kHz (3dB down)

F3 = 6kHz (60dB down)

0

- 10

-20

-30

-40

-50

-60

0                             2                             4                             6                             8                           10                          12                          14                          16                          18                          20

Give all the relevant plots (impulse, frequency responses) and the performance of the final filter. Compare this filter to one designed using the optimal Parks-McClelland method

(4 marks)

3.        Design a Low Pass FIR filter to meet the following specifications using the window method. Use a Kaiser window.

Fs = 50 kHz

Fc = 5.0 kHz (1 dB down)

Fs = 6 kHz (80 dB down)

Give all the relevant plots (impulse, frequency responses) and the performance of the final filter. Compare this filter to one designed using the optimal Parks-McClelland method.

(2 marks)

4.        Consider the impulse response of the following low pass filter designed using the Parks- McClelland method

h(n)= 0.0390    0.2574    0.2110    0.2544    0.2110    0.2574    0.0390

Take the Fourier Transform of this sequence and express this result as a polynomial in          powers of cos ω . Substitute x = cos ω to express the result as a polynomial in x.  Determine the positions of the local extrema, including band edges, in terms of x and also f = ω/2π .      Also determine δ the maximum ripple value in both pass and stop bands (express in dB).      Given a polynomial in x, explain how to obtain the corresponding sequence h(n)?

(6 marks)

5.         A. Design a 4th order low pass IIR Butterworth filter assuming a sampling frequency of 40 kHz and a passband edge at 4 kHz (hint — use the BUTTER(), FREQZ(), and ZPLANE() commands). Plot the frequency response and pole zero plots. Now quantize all the coefficients to a fixed point 15 bit mantissa (hint — after normalizing coefficients to a maximum value of between 0.5 and 1, multiply by 215, remove the fractional part and then divide by 215, and renormalize).   Replot the graphs and comment on the positions of the poles.   Is this filter stable?

B. Run the filters and check for stability using FILTER(A,B,X) where X is a zero mean random  noise  sequence  of the  form  X=rand(100,1)  -0.5.    Try  using  different  random sequences on any unstable filters and comment on the results. Do you always get the same answer?

(2 marks)

6.         Repeat Q5 using orders of 5, 6, 7, 8 low pass filter with quantised coefficients and comment on the results.

a)           Describe what happens to the positions of the poles and zeros as order increases?

b)         What is the maximum order which produces a stable filter?

(2 marks)

7.          Repeat Q5 using passband edges of 3kHz, 2kHz, and 1 kHz with quantised coefficients and comment on the results.

a)          Describe what happens to the positions of the poles and zeros as fractional bandwidth reduces?

b)         What number of bits is required to have a stable filter when fractional bandwidth is 0.025?

(2 marks)