1       Answer ALL parts.

(a) For an infinite linear chain of hydrogen atoms with equidistant atoms (lattice constant a):

(i)     Draw a simple band structure E(k). Use correct labelling.

(ii)    Explain how to increase or reduce the width of the band.

(iii)   Explain why the energy at k=0 is smaller than at k>0.

(iv)   Is this material a metal or a semiconductor?

[25%]

SECTION 2

Answer ONE question from Question 2 and 3

The D2h character table is appended to this paper after SECTION 2 

2       Answer ALL parts.

(a)  Using Hückel theory, we can describe the 几 electrons in conjugated hydrocarbons and aromatic systems. However, we can also use Hückel theory to describe G bonds between electrons in H3, using the 1s orbitals at each H atom as the atomic orbital basis:

(i)      Set up the secular determinants for linear and cyclic H3 .

(ii)     Find the roots of the secular determinant for both systems in terms of the Coulomb integrals a and

the resonance integrals F .

(Hints: Use x = (a − E)/F. One of the roots in the triangular case is x = −2.)

(iii)    Draw the molecular orbital energy levels of both systems.

(Remember that the resonance integral F has a negative value.)

(iv)    Determine  which  state,  linear  or  triangular,  is  more  stable  for  the  following  molecules/ions:

(i)  H3+ ,(ii) H3 , (iii) and H3- .

[50%]

MODEL ANSWERS

(1) Model Answers (a)

[covered in lectures]

inbetween them (= higher energy).

(iv)This is a metal.

(ii) The width of the band depends on the     interatomic distance a. The smaller the         distance, the stronger the orbital overlap and the wider the band.

(iii) The energy at k=0 is smaller because all  Hydrogen s orbitals are in phase with each     other and form a totally symmetric                 delocalised electronic state (0 nodes). At high k, the s orbitals have oscillating sign and the  delocalised state shows nodal planes

(2) Model Answers

[very similar to problems seen in lecture and practised in workshop]

(a)

(i)  The secular determinants in terms of a and F are Linear:

E a

F 0

F

a    E

F

F   | = 0

Triangular:

|   F      a    E      F   | = 0

(ii) We resolve the secular equations as follows:

Linear:

X =

|1   X   1 | = 0

X ⋅ (X2 − 2) = 0

X1,2 = ±√2,      X3 = 0

E1 = a + (2F

E2 = a

E3 = a    (2F

Triangular:

X   1   1

1   1   X

X1 = −2

3

X

2X + 1 =

(iii)