1.  [Total:  9 marks]

(a)  [3 marks]

P(10N > 5000)   =   P(N > 500)

=   P(Z > )

=   P(Z > 2)

s   1 _ 0:9772

=   0:0228 s 0:02:

(b)  [1 mark] P = 10N _ C .

(c)  [2 marks]

E(P)   =   E(10N _ C)

=   10E(N) _ E(C)

=   10(400) _ (1000)

=   3000:

(d)  [3 marks] First compute the covariance of N and C:

Cov(N;C)   =   Cor(N;C)sd(N)sd(C)

=   (0:8)(50)(300)

=   12000:

Next compute the variance of P :

Var(P)   =   Var(10N _ C)

=   Var(10N) + Var(C) _ 2Cov(10N;C)     =   100Var(N) + Var(C) _ 2(10)Cov(N;C) =   100(50)2 + 3002 _ 2(10)(12000)               =   250000 + 90000 _ 240000

=   100000;

so that sd(P) = ^100000 s 316:23:

2.  [Total:  16 marks]

(a)  [3 marks] Y has a binomial distribution with parameters n = 5 and p = 0:2, i.e.,

Y S Bin(n = 5;p = 0:2).

(b)  [3 marks] We obtain the following binomial probabilities:

P(Y   =   0) = (0:8)5 s 0:3277;

P(Y   =   1) = / 、1(5) (0:2)(0:8)4 = 5(0:2)(0:8)4 s 0:4096:

It follows that

P(Y > 1)   =   1 _ P(Y = 0) _ P(Y = 1)

s   1 _ 0:3277 _ 0:4096

s   0:2627 s 0:26:                                                 (1)

[Alternatively, student may obtain (1) by the following computation:

(c)  [4 marks] The required conditional probability is given by

P(Y > 2 and Y > 1)

Note that P(Y > 2 and Y > 1) = P(Y > 2). This is because {Y > 2} = {Y = 3; 4 or 5} and {Y > 1} = {Y = 2; 3; 4 or 5}, and their intersection is {Y > 2} = {Y = 3; 4 or 5}.

Also note that

P(Y = 2) = / 、2(5) (0:2)2 (0:8)3 = 10(0:2)2 (0:8)3 s 0:2048:

We therefore obtain

P(Y > 2 and Y > 1)   =   P(Y > 2)

=   1 _ P(Y = 0) _ P(Y = 1) _ P(Y = 2) =   P(Y > 1) _ P(Y = 2)

s   0:2627 _ 0:2048

s   0:0579:                                                              (2)

Consequently, we have

P(Y > 2IY > 1)   =

s

s

P(Y > 2 and Y > 1)

P(Y > 1)

0:0579

0:2627

0:2205 = 0:22:

[Alternatively, student may obtain (2) by the following computation:

P(Y > 2 and Y > 1)   =   P(Y > 2)

=   P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5) s   0:0512 + 0:0064 + 0:0003                s   0:0579:]

(d)  [6 marks] The null and alternative hypotheses are:

H0  : p = 0:2   vs   Ha  : p > 0:2:

Under H0, the z statistic z =  approximately follows the N(0; 1) distribution

for large n (by the central limit theorem).

Rejection rule: reject H0  if z > z0.05 = 1:645.

Given the sample, we have p^ =  = 0:27, and the realised z statistic is given by

z* =  =  = 1:75 > 1:645 = z0.05 :

We therefore reject H0 . We have strong enough evidence to conclude that the infection rate is signiÖcantly higher than 0.2 at the 5% level.

[Alternatively, student may use the p-value approach.

Rejection rule: reject H0  if P(z > z* ) < 0:05.

From the sample, the p-value is P(z > 1:75) s 0:0401 < 0:05.

Same conclusion.]

3.  [Total:  15 marks]

(a)  [6 marks]

i.  [2 marks] E(X) = (_2)(0:02) + (_1)(0:08) + 0(0:8) + 1(0:08) + 2(0:02) = 0.

ii.  [2 marks] E(X2) = (_2)2 (0:02) + (_1)2 (0:08) + 02 (0:8) + 12 (0:08) + 22 (0:02) = 0:32.

iii.  [2 marks] Var(X) = E(X2) _ [E(X)]2 = 0:32. sd(X) =^Var(X) = ^0:32 s 0:5657 s 0:57.

(b)  [9 marks]

i.  [3 marks] The key is to note that S IXI = X .  The covariance of S and IXI is given by

Cov(S;IXI)   =   E(S IXI) _ E(S)E(IXI)

=   E(X) _ E(S)E(IXI):

But then

E(S) = (_1)(0:1) + 0(0:8) + 1(0:1) = 0:

It follows that Cov(S;IXI) = 0 and hence Cor(S;IXI) =  = 0.

ii.  [4 marks] The key is to note that SX = IXI. First, we evaluate

E(IXI) = 2(0:02 + 0:02) + 1(0:08 + 0:08) + 0(0:8) = 0:24:

The covariance of S and X is thus given by

Cov(S;X)   =   E(SX) _ E(S)E(X)

=   E(IXI) _ E(S)E(X)

=   0:24 _ 0

=   0:24:

To compute the correlation, we need to Önd sd(S). The variance of S is given by

Var(S)   =   E(S2) _ [E(S)]2

=   E(S2) _ 0  (from (b)(i))

=   (_1)2 (0:1) + 02 (0:8) + 12 (0:1)

=   0:2,

so that sd(S) = ^0:2. The required correlation is computed as follows

Cor(S;X)   =

=

s

s

Cov(S;X) 

sd(S)sd(X)

0:24

^0:2^0:32

0:24

(0:4472)(0:5657)

0:9487 s 0:95: