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Stochastic Foundation of Finance (FIN 538)

Problem Set 1

Problem (An extension of Example 1 of Lecture 1 )

Suppose the economy in Example 1, Lecture 1 lasts for three quarters.  Similar to Example 5 of Lecture 1, consider a security that pays dt  = $1 if the economy state in quarter t is G and dt  = $0 if the economy state in quarter t is B .

1. What is the sample space Ω?

2. Following what we did in Example 1, find the filtration that corresponds to the σ-algebras Ft  at t = 0, 1, 2, 3.

(If the answer is too long, a short description in words will suffice)

3.  Calculate the probability measure Pt  that is associated with each σ−algebra Ft  above for t = 0, 1, 2, 3.

(If the answer is too long, a short description in words will suffice)

4.  Consider a security X with date-3 payoff defined as

X = d1 + d2 + d3

Let Y be the payoff to a put option on X with a strike price of K = $2.5 and maturity of T = 3. Recall that the payoff for this put option is Y = max(K − X, 0).

(a) Describe Y as a map: Y : Ω → R.

(b) Is Y a random variable of the probability space (Ω , F2 , P2 )? Why or why not?

(c) Find the smallest possible σ−algebra that makes Y a random variable.