1.  Define the following sets:

A   =   x : -10 < x < -5

B   =   x : -10 < x < 5

C   =   x : -5 < x < 5

D   =   x : -5 < x < 10

Which of the following is correct?

(a)  D C C .

(b) x e A is a sufficient condition for x e B .

(c) x e B is a sufficient condition for x e D .

(d)  C is equivalent to the interval (-5, 5).

(e)  None of the above.

2.  Consider the following equation in x :

^x = b + eax ,  x > 0

where a and b are parameters. Which of the following is a necessary condition for TWO solutions to exist?

(a) a > 0.

(b)  b > 0.

(c) a < 0.

(d)  b = 0.

(e)  b < 0.

3.  Consider the following function

f (x) =

What is its DOMAIN?

(a)  (-o, 1).

(b)  [-1, o).

(c)  (-o, 4].

(d)  [4, o).

(e)  (-1, o).

4.  Let y = f (x) =      2      defined for -o < x < o. What is the inverse of f (x)?

(a) g(y) = ln ╱ 、, y > 0

(b) g(y) = ln ╱ 、, y > 0

(c) g(y) = ln ╱ 2 y(一)y 、, 0 < y < 2

(d) g(y) = ln ╱ 2y一y 、, 0 < y < 2

(e) The inverse of f (x) is not a function as it is not a one-to-one mapping.

x2 - x3 

(c)  f\ (x) = -

(d)  f\ (x) =

6.  Consider the function f (x) = exp(x ln(x)). Which of the following is correct? (a)  f\ (x) = exp(x ln(x))(ln(x) + 1).

(b)  f\ (x) = exp(x ln(x)).

(c)  f\ (x) = exp(x ln(x)) ln(x).

(d)  f\ (x) = exp(ln(x))(ln(x) + 1).

(e)  None of the above.

7.  Let y = y(x) be a differentiable function of x, satisfying 2x2 + 6xy + y2  = 36. What is

y\ (x) at the point (x, y) = (2, 2)?

(a)  -  .

(b)   .

(c) 8.

(d)   .

(e)  -  .

This information relates to Questions 8 to 10.

Consider the function f (x) = 3 ln(x - 2) - x2 + 2x.

8. The domain of the function is:

(a) 0 < x < 1.

(b) x > 2.

(c) x > 2.

(d) x > 0.

(e) x > 1.

9. The derivative of the function f (x) is:

(a)  f\ (x) = 3x - 2x + 2.

(b)  f\ (x) =  - 2x - 2.

(c)  f\ (x) =  - x2 + 2x.

(d)  f\ (x) =  - x2 + 2. (e)  None of the above.

10. The stationary points of the function f are:

(a) x =  is the only stationary point of the function f (x).

(b) x = 3一2^7  is the only stationary point of the function f (x).

(c)  f (x)  has no stationary point.

(d) x = 3一2^7  and x =  are the two stationary points. (e)  None of the above.

11.  Consider the following vectors

┌ 0 ┐             ┌ 1 ┐

x=  '  1   ' ;    y =  ' 4   ' ;

' 2 '             ' 5 '

┌   7   ┐

z =  '   4    '

Which pair(s) of vectors are orthogonal?

(a) x & y and y & z.

(b)  None.

(c) x & z and x & y.

(d) y & z only.

(e) x & z only.

Information relates to Questions 12 to 16.

12. The matrix D = CT + B equals: (a) D =  ┌ 7(3)   6(1) ┐ .

┌         ┐

(c) D =  ┌ 2(3)   1(6) ┐ .

┌             ┐

(e) D =   ┐ .

13. The rank of the matrix E is: (a) 0.

(b)  1.

(c)  2.

(d) 3.

(e) 4.

14. Which of the following statements is correct?

(a) The determinant of C is positive and C has rank of 2.

(b) The determinant of C is positive and C has a reduced rank of 1.

(c) The determinant of C is 0 and C has rank of 0.

(d) The determinant of C is 0 and C has rank of 2. (e)  None of the above

15. The inverse of the matrix F = AB equals:

(a) F一1  does not exist.

(b) F一1  =   ┐ .

(c) F一1  =    ┐ .

(d) F一1  = -    ┐ .

(e) F一1  =    ┐ .

16. The problem Cx = b has:     (a)  Infinitely many solutions.

(b)  No solution.

(c)  One solution.

(d) Two solutions.

(e)  Four solutions.

This information relates to Questions 17 and 18.

Consider the following matrix

┌ 2   3   0 ┐

A =  ' 0   4    1   '

'              '

17. The rank of the matrix is

(a)  1.

(b)  2.

(c) 3.

(d) 0.

(e) 4.

┌ x1  ┐               ┌ 1 ┐

18.  The system Ax = c, where x =  ' x2    ' and c =  ' 1  ', has: ' x3  '               ' 0 '

(a)  Unique solution (x1 , x2 , x3 ) = (1/23, 7/23, -5/23).

(b)  Unique solution (x1 , x2 , x3 ) = (0, 1, 1).

(c)  Unique solution (x1 , x2 , x3 ) = (1, 23, 1/23).

(d)  No solution.

(e)  No unique solution.

19. Which value of a in A =  ┌ -^   a(^)9 ┐

makes A a negative semi-definite matrix?

(a)  12.

(b) -9.

(c) 9.

(d) 3.

(e) -3.

This information relates to Questions 20 and 21.

Consider the function f (x1 , x2 ) = x1 x2(一)3 + ln(x2(2)) + exp(x1 ).

20. The first partial derivatives are:

(a)  f1 (x1 , x2 ) = -3 x2(一)4 + exp(x1 ) and f2 (x1 , x2 ) = -3x1 x2(一)4 + 1/x2(2) . (b)  f1 (x1 , x2 ) = x2(一)3 + exp(x1 ) and f2 (x1 , x2 ) = -3x1 x2(一)4 + 2/x2 .

(c)  f1 (x1 , x2 ) = f1 (x1 , x2 ) = x2(一)3 + exp(x1 ) and f2 (x1 , x2 ) = -3x1 x2(一)4 + 1/x2(2) .

(d)  f1 (x1 , x2 ) = -3x1 x2(一)4 + 2/x2  and f2 (x1 , x2 ) = x2(一)3 + exp(x1 ). (e)  None of the above.

21. Which of the following results involving second order partial derivatives of f (x1 , x2 ) is correct?

(a)  f11 (x1 , x2 ) = x2(一)3  and f12 (x1 , x2 ) = -3x2(一)4 .

(b)  f21 (x1 , x2 ) = -3x2(一)4 x 1(一)1  and f12 (x1 , x2 ) = -3x2(一)4 .

(c)  f11 (x1 , x2 ) = exp(x1 ) and f22 (x1 , x2 ) = 12x1  x2(一)5 - 2x2(一)2 .

(d)  f12 (x1 , x2 ) = -3x2(一)4  and f22 (x1 , x2 ) = 12x1  x2(一)5 + 2x2(一)2 .

(e)  None of the above.

Information relates to the Questions 22 and 23.

Consider the following bivariate function

f (x1 , x2 ) =  exp(x1 x2 - 3)

22. The first order partial derivatives of f (x1 , x2 ) are:

(a)  f1  = (1/2) exp(x1 x2 - 3)x1 x2  and f2  = (1/2) exp(x1 x2 - 3)x1 x2 .    (b)  f1  = (1/2) exp(x1 x2 - 3)(-x2 ) and f2  = (1/2) exp(x1 x2 - 3)(-x1 ).

(c)  f1  = (1/2) exp(x1 x2 - 3)x2  and f2  = (1/2) exp(x1 x2 - 3)x1 .

(d)  f1  = (1/2) exp(x1 x2 - 3)x1  and f2  = (1/2) exp(x1 x2 - 3)x2 . (e)  None of the above.

23. Which one of the following statements is correct: (a) x1  = 0, x2  = 0 is a unique stationary point.

(b) The function f (x1 , x2 ) has an infinite number of stationary points.

(c) The function f (x1 , x2 ) has no stationary points.

(d) All points for which x1 x2  = 3 are stationary points. (e)  None of the above.

24. Assume that in a constrained bivariate maximisation problem (max f (x1 , x2 ) subject to g(x1 , x2 ) > 0) you found an optimum which is constrained, i.e.  λ > 0.  What is the interpretation of λ?

(a) A positive λ indicates that the maximum found is not a global maximum.

(b) A positivs λ indicates that imposing the constraint implies that the constraint max-

imum delivers a larger function value than the unconstrained one.

(c) The value of λ indicates by how much lower the function value at the constrained maximum is when compared to the unconstrained maximum.

(d) The value of λ is an indication by how much the function value would increase, at the optimum, if the constraint was slightly relaxed.

(e)  None of the above.

Information relates to Questions 24 to 27.

Consider, for positive values of x1  and of x2 , the maximization problem max f (x1 , x2 ) subject to g(x1 , x2 ) > 0,

where

f (x1 , x2 ) = ln(x1 ) - 5x1 + ln(x2 ) - 3x2 ,

g(x1 , x2 ) = -x1 - x2 + 2.

25. The Hessian matrix of f is:        (a)  Negative definite iff x1  > 2.

(b)  Negative Definite for all x1  > 0, x2  > 0.

(c)  Negative semi-definite iff x2  > 1.

(d)  Positive semi-definite for all x1  > 0, x2  > 0.

(e)  Positive Definite for all x1  > 0, x2  > 0.

26. The Hessian matrix of the constraint g is:

(a)  Negative definite.

(b)  Negative semi-definite.

(c)  Negative semi-definite and positive semi-definite.

(d)  Positive semi-definite. (e)  Positive definite.

27. Which of the following conditions is NOT a Lagrange condition? (a)   - 5 - λ = 0.

(b)   - 1 - λ = 0.

(c)  λ = 0 or -x1 - x2 + 2 = 0.

(d)  λ > 0.

(e)  None of the above.

28. The solution to the maximisation problem is: (a)  (x1(*), x2(*)) = (1, 1).

(b)  (x1(*), x2(*)) = (1/5, 1/2).

(c)  (x1(*), x2(*)) = (2/5, 2/3).

(d)  (x1(*), x2(*)) = (1/2, 3/2).

(e)  (x1(*), x2(*)) = (1/5, 1/3).

Information relates to Questions 29 and 30.

Consider the difference equation

yt+1  = 5 - yt , where y0  = 10.

29. The solution of this difference equation is: (a) yt  = 7 - 3 ╱  、 t  , t = 0, 1, 2, ....

(b) yt  = 3 + 7 ╱  、 t , t = 0, 1, 2, ....

(c) yt  = 3 + 7 ╱ - 、t , t = 0, 1, 2, ....

(d) yt  = 3 - 7 ╱  、 t , t = 0, 1, 2, ....

(e) yt  = 7 + 3 ╱ - 、t , t = 0, 1, 2, ....

30. The equilibrium and the long run behaviour of the solution are:

(a)  Unstable equilibrium and monotone divergence.

(b)  Unstable equilibrium and cyclical divergence.

(c) Stable equilibrium and monotone convergence.

(d) Stable equilibrium and cyclical convergence.

(e) Stable equilibrium and monotone divergence.