&   2k

k! k=2

and       (b)   &  (-1)n    n3    

n=1

what tests would be appropriate for deciding whether each series in convergent?  Apply them.  [Hint:  if f(n) = n /(n34 + 1), what is the sign of f\ (n)?]

 

Practice Questions

Algebra

1. Let F : R3 → R4 be a linear transformation which satisfies F (1, 0, 0) =      (-2, -4, -4, 0), F (2, 0, 1) = (-1, -2, -2, 2) and F (0, 2, 1) = (-6, -2, 0, 4).

(a) Find the standard matrix of F .

(b) Find the kernel and range of F .

2. Let F : R3 → R3 be a linear transformation which has a standard ma- trix which is diagonal. If F (1, 2, 3) = (5, 10, 4) then what is F (4, 5, 6)?

3. Let F : R3  → R2  be the linear transformation F (x, y, z) = (x, y + z) and let G : R2  → R3  be defined by G(1, 0) = (0, 1, 2) and G(0, 1) = (0, 2, 0).

(a) Find the standard matrix of the composition G 。F .

(b) Find the kernel and range of G 。F .

(c) Find the standard matrix of the composition F 。G.

(d) Find the kernel and range of F 。G.

4. Let F : R2  → R2  be (anticlockwise) rotation by , let G : R2  → R2 be a  reflection in the x-axis and H : R2 → R2 be a dilation by a factor of ^8 (ie a dilation with t = ^8). Find the standard matrix for each of the following linear transformations:

(a)  F 。H 。G

(b)  F 。G 。H

(c)  H 。G 。F .

5.   (a)  Prove that that there is no linear transformation F : R3  → R3 such that ker(F) = R(F).

(b) Find a linear transformation F : R2  → R2  such that ker(F) =

R(F). You must explicitly show that your example has this prop- erty.

6. Let F : Rl  → Rm  and G : Rm → Rn  be linear transformations.

(a)  Show that ker(F) S ker(G 。F).

(b)  Show that R(G 。F) S R(G).

7.  Prove that a linear transformation F : Rn  → Rn  is invertible if and only if ker F = {6}.

8.   (a) Find the standard matrix A of the linear transformation F rep- resenting the cyclic permutation

F (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x4 , x1 , x2 , x3 ).

(b) What is the effect of the composition F。F? What is the standard

matrix for F 。F?

(c)  Show that A3 = A一1 . Why would you have expected this for the standard matrix of F?

(d) Is F invertible? Explain.

9.  [Non- examinable  challenge]  Let  A  and  B  be  n x n  matrices,  and suppose  that  there  exists  some  invertible  n x n  matrix  such  that A = P一1 BP . In this case A and B are called similar matrices. Prove that any two similar matrices have the same rank.  (Note that to do this you only need techniques from Section 2 of the course, but the result is important for the theory of linear transformations).

10.  [Non- examinable  challenge] The set L(Rn , Rm ) of linear transforma- tions from Rn  to Rm  is itself a vector space.  Let F, G : Rn  → Rm be linear transformations, and k e R, then we define (F + G)(u) = F (u) + G(u) and (kF)(u) = kF (u).

(a)  Show that  {F, G, H} is a linearly dependent set in L(R2 , R2),

where F (x, y) = (y, x),

G(x, y) = (x + y, x - y) and H(x, y) = (y - 2x, x + 2y).

(b)  Describe a basis for the vector space L(R2 , R2) of all linear trans- formations from R2  to R2 .

(c) Is the subset of invertible transformations a subspace of L(R2 , R2)?

(d)  [Extra- challenging!] Define a map T : L(R2 , R2) → R2 by T (F) = F (e1 ) - F (e2 ), where {e1 , e2 } is the standard basis for R2 . Prove that T is a linear transformation and find the Kernel and the Range of T.

Calculus

Series

11. Explain the difference between

n                      n

(a)        ai  and       aj

i=1                 j=1

n                      n

(b)        ai  and       aj

i=1                  i=1

i                        j

(c)        an  and       an n=1                  n=1

12.  Do the following series converge or diverge? Provide explanations.

&

1

n

&

3

j - 1

&

(c)        2n n=3

(d) n ╱  、 n

13.  By utilising the fact that you know the sum of a geometric series, find the explicit values of each of the following series.

&   (-1)n

4n

n=0

&   2n+1

5n

n=2

&   3n一1 - 1

6n一1

n=1

14.  Determine the following repeating decimals in rational form by using a geometric sequence.

(a)  0.1233333 . . .

(b)  0.0454545 . . .

15. In this problem, we learn the ‘telescoping sum’ process to determine certain types of infinite sums.

&

(a) For the series       , use partial fractions to show that the

 

n(n + 1)     n     n + 1 .

 

(b) Hence, observe that the partial sums sm  obey

sm  := n   = n ╱  - 、

= ╱  - 、 + ╱  - 、 + ╱  - 、 + . . . + ╱  - 、 + ╱  - 、 = 1 -

because the intermediate terms cancel with adjacent terms (the

sum collapses like a telescope).  By determining   lim  sm, deter-

&

1

n(n + 1) .

n=1

&

(c) Use this telescoping sum idea to determine the sum       n=2

2

n2 - 1 .

(d)  [Non- examinable  challenge] Use this idea to also determine the

&

3

n(n + 3) .

n=1

16.  Do the following series converge or diverge? Provide explanations.

&

1

^n

n=2

&   (-1)n

n

 

2n2 + n + 7

n=1

17.  By comparing with a known series, show that each of the following series converges.

&

1

n2 + 10

&   sin2 n

3

&

1

n2n

n=1

18. Use the ratio test to determine whether each of the following series converge.

&

(a)

n=1