2. Find a basis for the column space for each of the following matrices.

3.  Decide whether each of (3, -1, 5)t,  (0, -2, -7)t  or  (3, -6, -3)t  is in either Nul B or Col B, where

B =  ┌ ┐

'-1   -2   3' .

4.  Recall that each elementary row operation is equivalent to multipli- cation by a corresponding elementary matrix.  Let E1 , . . . , En  be ele- mentary matrices. Is it also true that Col(A) =Col(En . . . E1A)? Give a reason to justify your answer.

Rank of a matrix

5.  Prove the Rank Theorem

(Note: we looked at why this is true in lectures - what we want here is for you to give an explanation of why this theorem is true, making sure to explicitly reference the relevant definitions).

6.  Prove that for k  0, the matrices A and kA have the same rank.

7.  Suppose A is a 3 × 5 matrix, and that dim Nul A = 2.  Prove the following, referring to definitions and theorems from lectures as nec- essary:

(a)  There exists a basis for R3 made up of some of the columns of A. (b)  The rows of A form a linearly independent set.

8.  Decide, giving reasons, whether the following are true or false.

(a)  The nullspace of the n × n zero matrix has dimension 0.             (b)  There exists an 18×17 matrix A with dim Row(A) =dim Nul(A).

(c) If m < n the dimension of the row space of an m × n matrix is less than that of its column space.

(d) For a k × m matrix A (with k  m), dim Nul A+ rank At = k . (e) An invertible n × n matrix A has dim Nul A = 0.

9. In each part find the largest possible value for the rank of A and the smallest possible value for the dimension of the Nullspace of A.

(a) A is 6 × 6     (b) A is 7 × 3     (c) A is 12 × 13

10.  Suppose A is a 4 × 5 matrix and b e R4 . Decide whether the system Ax = b is consistent if

(a) dim Nul A = dim Nul [A|b] = 4

(b) dim Nul A = 2 and rank [A|b] = 3

(c) rank A = 4 and dim Nul [A|b] = 2

Calculus

Second order constant coefficient homogeneous equations

11.  Solve the following homogeneous differential equations.

d2y       dy

dt2        dt

d2y         dy

dt2           dt

d2u        du

(a)         - 16y = 0, with y(0) = 1, y\ (0) = 0.

(b)         - 6     + 8y = 0, with y(0) = 8, y\ (0) = 0.

(c)  16y\\ - 8y\ + 145y = 0, with y(0) = -2 and y\ (0) = 1.

13. A block spring model with no additional forcing obeys the differential

equation

d2x        dx

dt2            dt

in which m is the mass, γ > 0 is the damping coefficient, and k > 0 is the spring constant. Given that m = 10 kg and γ = 0.2 kg s一1 , what is the critical value of the spring constant that will distinguish between underdamped and overdamped motion?

14. If ω > 0 is a constant, find the general solution to x\\ (t) + ω2x(t) = 0 .

15. Let y(t) be a complex-valued solution to

y\\ (t) + a y\ (t) + b y(t) = 0 ,

where a and b are real values.  Show that if y(t) = yr(t) + iyi(t), in which yr  and yi  are real-valued functions  (and are respectively the real and imaginary parts of the complex-valued y), then each of yr and yi  is a solution to the original differential equation.  (This ques- tion strengthens the process we used when the characteristic equation possessed complex roots, in which we asserted that the real part and imaginary part could be taken separately to be solutions.)

16. For what second-order constant-coefficient homogeneous ordinary dif- ferential equation, is

y(x) = (5 + 3x)e一2x

a solution?