5. Find bases for the row space and null space for each of the following matrices.

(a)

┌┐

A =  1     0      0     1

'5     6      8     5'

(b)

┌  ┐

B =   -1     1     -1

( 0     -1     0  )

6.   (a) If A is an m x n matrix, show that v e Row(A) if and only if v = xtA for some x e Rm .

(b) Using the above result,  show that Row(A + B)  S  Row(A) + Row(B).  (Recall that for two subspaces U , V of R|  we define U + V := {u + v  | u e U, v e V }, which is also a subspace of R| .)

7. Use an example to show that if B is not invertible then it may be that Row BA  Row A.

8.  [Non- examinable  challenge] Show that Nul(AtA) = Nul(A) for every matrix A.

Calculus

9.  Solve the initial value problem

t2y\ + 2ty = ln t    ,    y(1) = 2 .

10.  Solve each of the following differential equations.

(a)   = t2 (1 - 2y)                    (b)   + y cot t = 2 sin t,    y(π/2) = 1

11.  Solve ty  + 2y\ = 4t2  subject to y(1) = 2.

12.  Solve for u(x) the DE

du

dx

13. Find the general solution to

14. Find the general solution to

+   y = cos ^t .

(Note:  you will not be able to perform the final integral, and so will need to express your solution in terms of an integral.)

15. A reservoir contains 10 x 106  litres of fresh water.  A stream, with a flow rate of 5 x 106  litres per year, brings water into the reservoir, while well-mixed water is let out of the reservoir at exactly the same rate, thereby maintaining a constant volume of water in the reservoir. On April 1 (we will set this to be time 0), a factory’s output begins to contaminate the incoming stream, such that the incoming stream contains γ(t)  =  2 + sin (2t) grams of mercury per litre  (this varies periodically with time t).

(a)  Construct a differential equation model for the amount of mer-

cury M (t) (in grams) in the reservoir at a general time.

(b)  Solve your model, thereby determining the amount of mercury

in the reservoir at a general time t.   What is your long-term prediction for what happens?

16.  [Non- examinable challenge] If a e R is a constant, and g is an arbitrary continuous function, find the general solution to

a

t

17.  Consider the DE

y\ = 0.5 - t + 2y    ,    y(0) = 1 .

(a) Find the approximate numerical value for y(0.4) by using the

Euler method with ∆t = 0.1.

(b)  Repeat with ∆t = 0.05, and compare your results with (a).

(c)  Repeat with ∆t = 0.025, and compare with (a) and (b).

(d) Find the explicit solution y = φ(t) using a relevant exact tech- nique, and compare φ(0.4) with the answers you got from the previous parts.  Check what is approximately happening to the error as ∆t is halved (for example, is it halving too?), and hence validate what the course notes say is the order of Euler’s method.

18. Using the Euler method, find approximate numerical solutions to the differential equations, and plot their solutions. Test your values of the step size until you find one which appears to give good solutions in that y at the final value no longer changes to two decimal places if the step size is reduced.

dy

dx

(b) y\ + t2y3 = t    ;    ;    y(0) = 1    ;    t e [0, 1]