1.   (a) If b1 , . . . , bk  e Rn  show that span{b1 , . . . , bk} is a subspace of Rn .

(b) Is it always true that dim(span{b1 , . . . , bk}) = k? If you think it

is always true prove it.  If you think it is not always true give a counter-example.

2.  Try to use separation of variables to solve

dy       y - 1

dt         t

Can you find a solution? If not, why not?

3.  Discuss the nature of the critical points of    = yn , where n is a nonnegative integer.

Practice Questions

Algebra

1. Which of the following sets are subspaces of R2? Justify your answers.

(a)  U = {(2, 4) + t(1, 2) | t e R}

(b)  V = {(1, 0) + k(0, 1) | k e R} n {(0, 0)}

(c)  W = {(x, y) e R2  | xy < 0}

(d) X = {(x, y) e R2  | x + y = 0}

2. Let U and V be subspaces of Rn

(a) Is U n V a subspace in general? Justify your answer.

(b)  Define the set U + V = {u +v | u e U, v e V }. Prove that U + V is a subspace of Rn .

3.   (a)  Define what is meant by the span of the list of vectors {v1 , v2 , . . . , vr}.

(b)  Define what it means for the vectors {u1 , u2 , . . . , ur} to be lin-

early independent.

4. Write out the definitions of span{b, w} and span{b, w, b + w}. Show that span{b, w} = span{b, w, b + w}.  Remember that to prove an equality between two subsets like this we have to prove

span{b, w} S span{b, w, b + w}

and

span{b, w, b + w} S span{b, w}.

5. Let V = span{v1 , . . . , vr} and v e V . Show that V = span{v1 , . . . , vr , v}.

6.  Prove that a set {v} containing a single vector is linearly dependent if and only if v = 0.

7. Find a basis for:

(a)  U = {x | Ax = 0} if A =  ┌││         -    -(-)┐''

│0    0    2       0       4│ .

(b)  V = span{(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 0), (0, 1, 0)}.

8. Let U = span{(1, 0, 0, 0), (1, 1, 2, 0)} and

V = span{(2, 1, 2, 0), (0, 0, 0, 1)}.  Find a basis for, and hence the di- mension of

(a)  U n V

(b)  U + V .

Note that you can assume that U n V is a subspace for this question.

9.  [Non- examinable  challenge] Subspaces are an example of a more gen- eral mathematical concept called a vector space which is a set with rules for addition of elements and scalar multiplication of elements. The set Mmn of all m × n matrices forms a vector space, with addition and scalar multiplication just being the usual operations of addition and scalar multiplication of matrices, and with the zero vector being the zero matrix.  What is the dimension of Mmn?  You should justify your result by describing a basis, which you must show to be linearly independent and to span Mmn .

10.  [Non- examinable  challenge] Let P3  be the set of all polynomials of degree 3 or less. This set forms a vector space under the usual addition and multiplications of functions by (real) constants. Show that {2x3 + x + 1, x - 2, x3 - x2 } is a linearly independent set, and find a basis for P3  which includes these three polynomials.

Calculus

11. In this problem, we recover some equations which you may already be familiar with from high-school, but by using basic differential equations machinery.  The differential equation for the height z(t) of an object

falling under gravity g is

d2 z

dt2   = -g ,

where t is time.  Suppose an object starts at a location z = 0 at time t = 0, at a velocity u.

(a)  By integrating once, show that the object’s velocity v at a general

time t satisfies v = u - gt.

(b)  By integrating again, establish that at a general time the object’s

location is given by z = ut - 1 gt2 .

12. A constant voltage source V is attached to a circuit which has a resistor (resistance R) and a capacitor (capacitance C).  Kirchhoff’s laws tell us that the time-varying charge Q on the capacitor is then given by

dQ      1

dt      C

Assuming that all of R, C and V are constants, verify that

Q(t) = VC ╱ 1 - e」t/(CR)、+ Q0 e」t/(CR) ,

where Q0 is the charge on the capacitor at time 0, is a solution to this DE.

13.  Solve the following differential equations:

(a) t sin2 y - t +  = 0 .

dy              1       

14.  Solve the following DE:

 + ey cos(2x) = 0       y(0) = 0 .

Check your solution by substituting it back into the DE.

dy

dx

dy =     (y - x) dx ,

and then integrating to get

y = yx -      + C     ÷    y =

for an arbitrary constant C . Is the student correct? Explain.

16.  The rate of decay of a radioactive substance is proportional to the

amount A of substance which is present at any instant of time. That

dA

is         = -kA, where k  > 0 is a parameter.  An important measure

used to classify radio active substances is what is known as the half life time T, which is the time taken for a given amount A0 to decay to A0/2. Find an expression for k in terms of T, by solving the DE and using the definition of T.

17. If p and q are arbitrary smooth functions, determine the general solu-

tion to

dy        p(t)

=

dt      q(y) .

18.  |kpo|etanloa。me diammeogel Consider the DE

dy       y - 4t

=

dt       t - y  .

(a) Is this a separable equation?

(b)  Consider the change of dependent variable v(t) = y(t)/t.  Show

that it is possible to rewrite the DE as

dv       v2 - 4

dt       1 - v  .

(c)  Solve the equation found in (b), and hence determine the solution y(t) to the original DE (you will only be able to write the answer in implicit form).

19.  Sketch the phase lines for each of the following DEs.

dy

(b)   = -k (y - 1)2 , where k > 0,

(c)   = y2 R4 - y2、

For each case, identify initial conditions y(0) such that  lim y(t) = 1. t↓b

dy

dt

classify the types of critical points.

21. Analyse the critical points of the DE

dy

using the derivative test (Property 1.2).

22.  The drag force on an object moving in a fluid of density ρ at speed v is ρCDAv2  in the direction opposed to the object’s motion; here A is the cross-sectional area of the object, and CD  is the drag coefficient which is related to the roughness of the object.  Given this, explain why the rate of change of downward speed v of a skydiver of mass m must obey the differential equation

dv                ρCDAv2

dt  = g -      2m      ,

in which g is the gravitational acceleration.

(a) What are the critical points of this DE? Classify them.

(b)  Sketch the phase line, and the qualitative behaviour you can ex-

pect for the function v = v(t).

(c) You may have heard that skydivers achieve a ternloam uempdlty.

Interpret this in terms of the previous parts of this question.