I .  QUESTION

Prove the following relationships involving the matrix inverse and matrix determinant:

1)  Block inversion formula:

A “  »A1     A2 fi

–A3      A4 fl

ùñ  A´1  “  »       `A1  ´ A2 A4(´)1 A3 ˘´1                 ´A1(´)1 A2  `A4  ´ A3 A 1(´)1 A2 ˘´1fi

– ´A4(´)1 A3  `A1  ´ A2 A4(´)1 A3 ˘´1                   `A4  ´ A3 A 1(´)1 A2 ˘´1             fl .

2)  For matrices A, B , C, and D (of appropriate size),

`A ` B D´1C˘´1  “ A´1 ´ A´1B `D ` C A´1B ˘´1 C A´1 .

3)  For matrices A P CM ˆN  and B P CN ˆM ,

pIM  ` ABq´1 A“ ApIN  ` B Aq´1 .

4)  For matrices A e CM ˆN  and B e CN ˆM ,

det[IM  十 AB] = det[IN  十 AT BT].

II .  QUESTION

Consider the SED of the Hermitian matrix A e RN ˆN:

N

A = V ΛV*  = ÿ λivivi(*) ,

where vi  are the columns of the unitary matrix V ; Λ is the diagonal matrix with the eigenvalues λi  of A populating its diagonal. Let us now look at the linear mapping Ax, where x e RN :

—————一(V Λ V* x) A x

Stage III

We may view this linear mapping as being composed of the following stages:

‚   Stage I. Decompose x into coordinates (which will be associated with the directions of vi

later in Stage III):

V*x =  v*1.x ffi .

–vN(*)xfl

Geometrically, this corresponds to a rotation of x by V* .

‚   Stage II. Scale the coordinates of x by λi :

ΛV*x =   v*1.x ffi λ0.1     0λ2.    ... ... ...     00.  ffi=   λ 1 v..1(*)x ffi .

–vN(*)xfl – 0     0    . . .   λN fl      –λN vN(*)xfl

Geometrically, this corresponds to a dilation of V*x by Λ .

‚   Stage III. Reconstitute A x by associating the scaled coordinates with the directions of vi :

”v1     . . .   vN ]  λ 1v..1(*)x ffi =ÿ(N)(λivi(*)x) vi . =ÿ(N) λivivi(*)x = A x.

–λN vN(*)xfl    i“1                                    i“1

Geometrically, this corresponds to a rotation of ΛV*x by V.

3

N                                   N

In essence, the dyadic expansion ÿ (λiv x)vi(*) i  = ÿ λivivi(*)x expresses A x as a linear combi-

Use the matrix

A = »-1\2     3\2 fi

– 3\2     -1\2fl

to illustrate this decomposition. Use the 2-D plane to draw the results during each stage.

III .  QUESTION

An ellipsoid in CN  centered at x0  e CN  is an affine transformation of the unit ball (in terms of the 2-norm) in CN , i.e,

␣x e CN  : x = x0 + B z,  where lzl2  < 1 and B e CN ˆN  is non-singular( .

1)  For a given A > 0 (i.e., A is p.d.) , show that the set

␣x e CN  : (x - x0 )*A(x - x0 ) < 1(

is an ellipsoid.

2)  Show that the  semiaxes  of this  ellipsoid  lie  along the  eigenvectors  v1   and  vN ,  which correspond to the eigenvectors λ 1  = λmax  and λN  = λmin .

3)  What is the ‘thickness’ of the ellipsoid along each semiaxis?

4)  Plot the ellipsoid corresponding to

A = »3   1fi

– 1   4fl ,

and identify its  semiaxes  and their  directions,  and the  ‘thickness’  along  each  semiaxis direction.

IV.  QUESTION

Consider the Hermitian matrix L e Cn ˆn . Suppose Λ = {λ1 , . . . ,λn }, where λmin  = λ 1   < . . . < λn  = λmax is its spectrum and {vmin  = v1 , . . . , vn  = vmax } the corresponding eigenvectors. W.l.o.g., we assume that these eigenvectors are normalized.

1)  Show that the Rayleigh ratio x*Lx\x*x, where x e Cn  is an arbitrary non-zero vector, is

lower and upper bounded as

x*L x

x*x

Hint. Note the following:

‚   The set of eigenvectors {vmin  = v1 , . . . , vn  = vmax u constitutes an orthonormal basis

for Cn , i.e.,

$

vi(*)vj  = 6ij  = ’& 1,

’( 0,

for i = j;

otherwise.

‚   An arbitrary vector x = Cn  can be expressed in its dyadic form as

n

x = ÿ αivi , αi = C.

‚   The matrix L can be expressed as

n

L = ÿ λk vk vk(*) .

2)  Show that the Rayleigh ratio in fact achieves these lower and upper bounds. In other words,

x* L x                          x* L x

x‰0    x*x                    x‰0     x*x  .

Hint. What vectors xmin  and xmax  do you think make

 = λmin   and   = λmax ?

V.  QUESTION

This problem is meant to get you started on working with the graph and digraph objects in MATLAB (or the software of your choice).

To date, the most complete chemical and electrical connectomes for both adult sexes (herma- phrodite and male) of the nematode  Caenorhabditis elegans, or  C. elegans for short, appears in  [Cook et al., 2019]. The datasets for these connectomes are available at WormWiring. Use the  dataset  corresponding  to  the  chemical  connectome  of the  hermaphrodite  C.  elegans  (in GHermChem) to study the following:

1)  What is the size (i.e., # of vertices and edges) of this directed graph (digraph)?

2)  Notice the name of each vertex (which represents a neuron), the group it belongs to, and the subgroup it belongs to. What are the names of the unique groups?

3)  Notice the weight of each edge (which represents the  ‘strength’ of connection between two neurons). What is range of edge weights?