Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH3061 Geometry and Topology – Semester 2, 2022 – Geometry Assignment

Question 1.  Let α : ε → ε be defined by α(x, y) = (6 - 2x, -y).

(a) Prove that α is a transformation.

(b) Find all fixed points of α .

(c) Is α an involution, isometry, affine transformation?

Question 2.  Let Q = (2, 1) and v = ┌ ┐6(2) .

(a) Find the Cartesian equation of the line l through Q in direction v.

(b) Find the Cartesian equation of the line m such that ρQ, −T/2  = σe σm .

(c) What is the isometry Tv О ρQ, −T/2 О T1 ?

Question 3.  Denote by a, b the lines with the Cartesian equations y = 0, x = 0 respectively,

and i = ┌ ┐0(1) , j = ┌ ┐1(0) .

(a) Find the functions f(x, y) and g(x, y) such that γa,i(x, y) = (f(x, y), g(x, y)). (b) If γa,i(P) = Q, show that the midpoint of the segment PQ belongs to a.

(c) What is the isometry γa,iγb,j?

Question 4.  Let A, B , C be the vertices of an equilateral triangle in the plane.

(a) Describe all isometries which map the set {A, B, C} to itself. (Your answer should consist

of a list specifying the reflections, rotations, translations and/or glide-reflections with the requested property.)

(b) Is the set ζ of all those isometries a group?

(c) Find all subsets of ζ which are groups.