1.  (Vertical differentiation) Two firms, H and L, are selling products in the same category. The quality of Firm i’s product is vi , where vH  > vL  > 0. There is a unit mass of consumers whose types are uniformly distributed on [0, 1] each with unit demand; this means that if a firm sells its product to (and only to) consumers whose types are between a and b (with b > a), then the quantity sold by the firm is b − a. (It does not matter whether the boundary points a and b are included.)  We assume that the qualities vH  and vL  are fixed because it is not easy to redesign a product of a different quality, but the two firms simultaneously choose their unit prices pH  and pL . If a consumer of type θ ∈ [0, 1] buys from Firm i, his utility is θvi − pi ; if a consumer does not buy from either firm, his utility is zero. For simplicity, assume that both firms have zero cost of production and maximize their profits.

(a)  [5 marks] We model the firms’ pricing problem as a strategic form game with only the two firms as players.  Notice that it does not make sense for Firm i to charge a unit price higher than vi , so we may as well put [0, vi ] as Firm i’s set of strategies. Show that Firm L’s profit is

uL (pL , pH ) =  (min {  , 1 } − ) pL .

Notice that we do not need to worry about the difference in the parenthesis being negative:  with the above payoff function, Firm L will never choose a pL  rendering that difference negative.

(b)  [5 marks] Show that Firm H’s profit is

uH (pL , pH ) =  (1 − max {  ,  }) pH .

(c)  [3 marks] We seek a Nash equilibrium where both firms make positive sales.  The main difficulty is that uL  and uH  are not differentiable everywhere. Let us first consider uL .  Show that Firm H will not make a positive sale when  ≥ 1. Therefore, for our purpose we can rewrite uL  as

uL (pL , pH ) =  (  − ) pL .

(d)  [2 marks] Show that when Firm L makes positive sales,  >  . Therefore, for our purpose we can rewrite uH  as

uH (pL , pH ) =  (1 − ) pH .

(e)  [10 marks for ECON3152, 5 marks for ECON4453/8053] Find all the Nash equilibria in which both firms make positive sales.  As a good habit, you should check that 0 <   <   < 1 and that   >   for the equilibrium prices (pL(∗), pH(∗)) you found.

Solution.

(a)  A consumer of type θ buys from Firm L if and only if θvL  − pL  ≥ max{0, θvH  − pH }, which means that pL /vL  ≤ θ ≤ (vH  − vL ) −1 (pH  − pL ).  Therefore, the difference in the parenthesis on the right hand side of the given formula is the mass of consumers buying from Firm L.

(b)  A consumer of type θ buys from Firm H if and only if θvH  − pH  ≥ max{0, θvL  − pL }, which means that θ ≥ max{pH /vH , (vH  − vL ) −1 (pH  − pL ). The desired result follows.

(c)  That (vH  − vL ) −1 (pH  − pL ) < 1 is obvious from the condition that uH (pL , pH ) > 0.  The desired result follows.

(d) When uL (pL , pH ) > 0, (vH − vL ) −1 (pH − pL ) > v L(−)1pL , which implies that pH vL  > pL vH . The latter inequality implies that vH(−)1pH  < (vH  − vL ) −1 (pH  − pL ), which is the desired result.

(e)  BRL (pH ) = (2vH ) −1vLpH   and BRH (pL ) = (vH  − vL  + pL )/2.  Setting pL  = BRL (pH ) and pH   =

BRH (pL ) yields a unique Nash equilibrium

(pL(∗), pH(∗)) =  (  , ) .

2.  Consider the following two-player game.

(a)  [5 marks] Show that there is no Nash equilibrium in pure strategy.

(b)  [5 marks] (ECON4453/8053 only) Show that no strategy is strictly dominated.

(c)  [5 marks] The key step in finding Nash equilibria in mixed strategy is to find the supports of such equilibria.  Since Player 1 only has two strategies to choose from, there are only three possibilities. Show that there is no Nash equilibrium where Player 1 uses a pure strategy.  (Hint:  first assume that Player 1 chooses H; show that Player 2’s best response is T and that Player 1 would not choose H had him known that Player 2 would choose T.)

(d)  [3 marks] Now focus on the case where Player 1 mixes between H and T. Show that Player 2 must put equal weights on H and T to make sure that Player 1 is indifferent between H and T; notice that the “equal weight” could be zero.

(e)  [2 marks] Show that there is no Nash equilibrium where Player 2 chooses H or T with positive probability.  (Hint:  suppose that he indeed chooses H and T with equal and positive probabilities; show that Player 1 must mix H and T equally for Player 2 to be indifferent between H and T and derivve a contradiction.)

(f)  [10 marks for ECON3152, 5 marks for ECON4453/8053] Find all the Nash equilibria of the game.

Solution.

(a) We framed boxes to label best response payoffs:  Since no grid has two boxes, there is no Nash

     H          T         Q    

H   1 ,-1    -1, 1   .6,.6  

T    -1, 1  1 ,-1    .6,.6  

equilibrium in pure strategy.

(b)  Both of Player 1’s strategies are best responses to something, so they cannot be eliminated. H and

T for Player 2 have been shown to be best responses to something. Finally, it is easy to see that Q is the best response to .5H + .5T . Therefore, nothing can be eliminated for Player 2 either.

(c)  Suppose that there exists a Nash equilibrium in which Player 1 plays H with probability one. Then T is Player 2’s unique best response and must be played in the Nash equilibrium. However, H is not Player 1’s best response to Player 2’s playing T, contradicting the definition of Nash equilibrium. A similar argument shows that there is no Nash equilibrium in which Player 1 plays T with probability

one.

(d)  Let  q2,H   and  q2,T   be the probabilities that Player  2 play H and T, respectively.   Then Player 1’s payoff from playing H is q2,H   − q2,T  + .6(1 − q2,H   − q2,T)  while his payoff fro playing T is −q2,H  + q2,T  + .6(1 − q2,H  − q2,T). The two payoffs are equal if and only if q2,H  − q2,T .

(e)  Suppose that Player 2 chooses H (and thus T) with positive probability.  Then Player 2 must be

indifferent between H and T. This condition implies that Player 1 mixes between H and T equally, yielding payoff 0 for Player 2 to play H or T, which is strictly lower than her payoff from playing Q, a contradiction.

(f)  From what has been shown so far, in all Nash equilibria, Player 2 plays Q with probability one. Let q1,H   be the probability that Player  1 plays H. Then for Q to be a best response, we need .6  ≥ max{1 − 2q1,H , 2q1,H  − 1}, so  .2  ≤ q1,H   ≤ .8.   Therefore, the set of all Nash equilibria is {(q1,HH + (1 − q1,H)T, Q) : .2 ≤ q1,H  ≤ .8}.

3.  There are two entrepreneurs, 1 and 2, investing in a joint project. The project has a success rate

e1         e2     

q(e1 , e2 ) =

when Entrepreneur i invests ei .  When successful, the project generates a total revenue of 2R which is divided equally between the two entrepreneurs.  (Of course, R  > 0.)  An entrepreneur’s payoff the difference between the revenue (if any) and the investment: ui (e1 , e2 ) = Rq(e1 , e2 ) − ei .

(a)  [5 marks] Check that for all e1 , e2  ∈ [0, ∞), q(e1 , e2 ) is between 0 and 1 and strictly increasing in e1 and e2  when both are strictly positive.

(b)  [5 marks] (ECON 4453/8053 only) Show that each player’s payoff function has strictly increasing differences:

u1 (e1 , e2 ) − u1 (e, e2 ) > u1 (e1 , e) − u1 (e, e), for all e1  > e ≥ 0 and e2  > e ≥ 0.

In words, the net benefit of a higher investment is bigger for Entrepreneur 1 when Enterpreneur 2 makes a higher investment.

(c)  [5 marks] First we consider the possibility of “corner solutions”. Compute BR1 (0), Entrepreneur 1’s best response when Entrepreneur 2 does not make any investment. Is (0,0) a Nash equilibrium?

(d)  [5 marks] For the rest of the question, we seek a condition under which there exists a Nash equilibrium when both entrepreneurs make positive investments.  Thus, we focus on the case where e1  and e2 are both positive. For a fixed e2  > 0, show that u1 (e1 , e2 ) is a strictly concave function of e1 .

(e)  [5 marks] Find BR1 (e2 ) for e2  > 0.

(f)  [10 marks] Show that if (e1 , e2 ) is a Nash equilibrium, then e1  = e2 .  (Hint: find a function f such that the system ei  = BRi (e−i ) can be rewritten as f (e1 ) = f (e2 ) = R(1 + e1 ) −1 (1 + e2 ) −1; then show that f is one-to-one.)

(g)  [5 marks] Show that a Nash equilibrium (e, e) satisfies the equation that

(1 + e)3  − Re = 0.                                                                     (1)

(h)  [5 marks] Find a necessary and sufficient condition under which there exists a Nash equilibrium where both entrepreneurs make positive investments.  (Hint: one method is to apply the root formula for cubic equations; alternatively, observe that the left hand side of Eq.  (1) is a continuous function of e and is positive both when e → 0 and when e → ∞, so Eq.  (1) has a positive root if and only if the minimum of the left hand side over [0, ∞) is non-positive.)

(i)  [10 marks] Determine the number of Nash equilibria with positive investments.