Section A

1.  Consider the following regression model

Yt  = β0 + β1 Ut + β2 Vt + β3 Wt + β4Xt + ∈t ,                                               (1)

where U, V, W, X and Y are economic variables observed from t = 1, . . . , 75, β0 , . . . , β4  are the model parameters and ∈t  is the random disturbance term satisfying the classical assumptions. Ordinary Least Squares (OLS) is used to estimate the parameters, producing the following estimated model:

t  = 1.115  + 0.790Ut  − 0.327Vt  + 0.763Wt  + 0.456Xt

(0.405)   (0.178)      (0.088)     (0.274)       (0.017)

where standard errors are given in parentheses, the R2  = 0.941, the Durbin- Watson statistic is DW =  1.907 and the residual sum of squares is RSS = 0.0757.   In answering this question, use the 5% level of significance for any hypothesis tests that you are asked to perform, state clearly the null and al- ternative hypotheses that you are testing, the test statistics that you are using and interpret the decisions that you make.

(a)  [10%] Describe the concepts of unbiasedness and efficiency.  State the

conditions required of regression (1) in order that the OLS estimators of the model parameters possess these properties.

(b)  [15%] Perform the following tests on the parameters of regression (1): (i) test whether the parameters β1 , β2 , β3  and β4  are individually statistically significant; (ii) test the overall significance of the regression model; (iii) test whether β4  is statistically equal to 0.5 against whether it is less than

0.5.

(c)  [15%] Suppose you wish to test whether the economic variables U and W have the same impact on Y or if they have different impacts on Y . Express this in terms of an appropriate null and alternative hypothesis and show that if the impacts were the same then the regression model would become:

Yt  = β0 + β1 Zt + β2 Vt + β4Xt + ∈t ,                                                   (2)

where Zt  = (Ut + Wt ).  Perform the test, using the information in the fol- lowing OLS estimated regression:

t  = 1.225  + 0.782Zt  − 0.403Vt  + 0.412Xt

(0.361)   (0.147)      (0.151)     (0.081)

where the RSS = 0.0781 and the DW = 2.043.

(d)  [10%] What are the consequences of autocorrelated errors on OLS esti- mators and discuss a way in which this can be resolved?  For the model that you have chosen as a result of the test in part (c), perform a test for autocorrelation of the error term.

Section B

2. Answer the following questions:

(a)  [8%] Describe the best subset selection, forward subset selection and backward subset selection methods for identifying a subset of the p pre- dictors that you believe to be related to the response, in a linear regression model. Comment on the strengths and weaknesses of the three methods.

(b)  [8%] Describe the K-nearest neighbours (KNN) regression.  Compare it with the multiple linear regression.

(c)  [9%] (i) Discuss the problem of endogeneity and provide an example in economics. (ii) Describe the method of instrumental variables for dealing with endogeneity.  (iii) Propose a possible instrumental variable for your example and discuss its validity.

3.  Consider the simple linear regression model:

yi  = β0 + β1 xi + ui , i = 1, ..., n,

where the xi  are fixed (non-random) and the errors ui , for i = 1, ..., n are inde- pendent normal random variables with mean 0 and variance σ 2 .

(a)  [5%] Derive the maximum likelihood estimators βˆ0(ML) , βˆ1(ML) and 2,ML of β0 , β1 , and σ 2 .

(b)  [5%] Derive the variances Var ╱βˆ0(ML)←and Var ╱βˆ1(ML)← and prove that βˆ0(ML) and βˆ1(ML)  are consistent estimators of β0  and β1 .

Suppose now that the variable x is dummy variable.  Assume that n0  of the observations have xi   =  0 and n1  of the observations have xi   =  1, where n0 + n1  = n, the total number of observations. Furthermore, define:

y¯0  = yi ,

and    y¯1  = yi ;

(3)

that is, y¯0  is the average of yi  over all observations that have xi  = 0 and y¯1  is the average of yi over all observations that have xi  = 1. Show that the following are true:

(c)  [10%] βˆ1(ML)  = y¯1 − y¯0 .

(d)  [5%] βˆ0(ML)  = y¯0 .