Question 1 (5 points)

Let (X, Y) be the bivariate vector with joint density

f(x,Y )(x, y) = 1(0 < x < 1) 1(0 < y < 1).

(a) Find the joint density of the vector (U, V) with U = X + Y, V =  .

Solution:  The inverse transformation is

            去    wdet(J)w = 1/v2 ,

therefore

fI,v(u, v) = 1 z0 <  < 1、  1 z0 < u …  < 1、 = 1(v > 1) 1 z  < u < 1 + 、

(b) Find the marginal density of V .

Solution:  We have

1+1/u    1                             1

fv(v) =   1/u         v2 1(v > 1) du = v2 1(v > 1).

Question 2 (11 points)

For i = 1, . . . , n, let Xi  be i.i.d. according to the density function

e9 – 1/w

fx(x; θ) =     x2      1(0 < x 生 1/θ),

where θ > 0 is an unknown parameter.

(a)  Show that Fx(x; θ) = P9(X 生 x) = e9 – 1/w  for 0 < x 生 1/θ .

Solution:

Fx(x; θ) = P9(X 生 x) =   0 w du = e9 – 1/t w0(w) = e9 – 1/w

(b) Find T, a minimal sufficient statistic for θ .

Solution: We can write

L(θ; x) =   i     1(0 < xi  生 1/θ) = en9 1(x(n)  生 1/θ) = c(x)en9 1(x(n)  生 1/θ)

and

L(θ; x)                  1(x(n)  生 1/θ)

L(θ; y)                 1(y(n)  生 1/θ) ,

which one can then show to be free of θ if and only if x(n)  = y(n) .  Thus, T = X(n)  is minimal sufficient.

(c) Find the distribution of T, and show that T is complete.

Solution:

FT(t; θ) = FX μ亢) (t; θ) = [FX (t; θ)]n = [e – 1=t]n = en –n=t , t l (0, 1/θ]

thus,

fT (t; θ) = F(t; θ) =

Assuming

1=             nen –n=t                     1=             e –n=t

E [g(T)] =           g(t)                 dt =           g(t)          dt = 0    Aθ > 0

and applying Leibnitz’s rule, we obtain

… g(1/θ)θ2 e –n  = 0 书 g(t) = 0 w.p. 1   Aθ > 0

Thus, T is complete.

(d) Find , the MLE of θ .

L(θ; x) =   i     1(0 < xi  生 1/θ) = en 1(x(n)  生 1/θ) = c(x)en 1(θ 生 1/x(n))

an increasing function of θ on the interval (0, 1/x(n)]. Thus, we have  = 1/X(n) .

E[] = E[g(T)] = E[1/T] =     1=  1 nen –n=t dt =

(f)  Obtain the UMVUE of θ .

Solution:  V =  …  is unbiased and a function of the sufficient and complete statistic, thus it is

Squared Error?  [Hint:  you do not need to compute the detailed expressions of the MSEs of the two estimators.]

Solution: We have

MSE [ ] = Var [ ] + (Bias [ ]) 2 = Var [ ] + z   、 2  > Var [] = Var [ … 1/n] = Var [V]

Solution: We need to show that n 书(d) θ   Aθ > 0 as n 书 k. Since θ is a constant, we will have

Being θ a constant, we have F(u) = 1(u 上 θ). Now, recall that n =T(1) , so that, for u > θ ,