PART A

Answer all questions from this section.

A.1 You wish to measure the effect of hiring more teachers on student performance.  To this end

you randomly select 300 schools; for each school you collect data on the number of students per teacher (str) and the average exam score (score) for final year students in 2021.  Suppose that in the population the following equation holds:

score = β0 + β1 str + β2 ability + β3 (str × ability) + u,                            (1)

where ability is the average level of student ability in a given school.  This equation statisfies MLR.3–MLR.4 in Wooldridge’s text book.

(a) You do not have data on ability and so decide to estimate β 1  by regressing score on str .

Derive the probability limit of the estimator.

ANSWER:

By the LLN in conjunction with MLR . 3–MLR .4,

╱stri − str、2 → p Var (str) > 0,

╱stri − str、abilityi → p Cov (str, ability) ,

╱stri − str、(stri × abilityi) → p Cov (str, str × ability) ,

╱stri − str、ui → p Cov (str, u) = 0.

In total,

β˜1 →p β 1 + β2 + β3

...

(b) A colleague of yours conjectures that Cov (str, ability) < 0, Cov (str, str × ability) > 0,

β2  > 0 and β3  < 0. Do these sign restrictions seem plausible to you? Explain. Supposing they hold, is it possible to determine the sign of the asymptotic bias of the estimator in (a)?

ANSWER:   Rewrite the model as

score = β0 + β1 str + (β2 + β3 str) ability + u.                                (3)

It seems plausible  that the  baseline  effect  of ability is positive  (β2  > 0),  that  ability has  a       stronger effect if class size is small  (β3  < 0), that better students are more likely to attend schools with small class sizes(Cov(str, ability) < 0) . However, the sign of Cov(str, str × ability) could go either way. The restrictions implies that the asymptotic bias is negative:

AsBias = lim β˜1 − β 1 = β2 Cov (str, ability) + β3 Cov (str, str × ability) < 0

石 !            石                                                                                                         !

<0 <0

(c) You speculate that the joint population distribution of ability and str is such that

匝 [ability|str] = 匝 [ability] .                                               (4)

Interpret the restriction in (4). Do you think it is likely to hold?

ANSWER: (4) says that ability is mean –independent of str .  That is, ability does not relate to str .  Specifically,

Cov (ability, str)   = 匝 [ability × str] − 匝 [ability] 匝 [str]           = 匝 [匝 [ability|str] × str] − 匝 [ability] 匝 [str] = 匝 [ability] 匝 [str] − 匝 [ability] 匝 [str]

=   0.

This is a strong assumption which is unlikely to hold:  We would expect students with strong ability to be more likely to attend academically strong schools .  Such schools are more likely to have relatively small str and so it would seem more plausible that  Cov(ability, str) < 0 .

(d) Assuming that (4) holds, demonstrate that the probability limit of the OLS estimator in (a) equals β1 +β3匝 [ability]. Interpret the probability limit. In particular, is it a meaningful measure of the effect of class size on student performance?

ANSWER:  We know that  Cov(str, ability) = 0 under (4) .  Similarly,

Cov (str, str × ability)   = 匝 [ability × str2] − 匝 [ability × str] 匝 [str]   = 匝 [匝 [ability|str] × str2] − 匝 [ability] 匝 [str]2 = 匝 [ability] 匝 [str2] − 匝 [ability] 匝 [str]2

= 匝 [ability] Var (str) .

Plugging these two identities into (2),

lim β˜1     =   β 1 + β2 Cov (str, ability) + β3 Cov (str, str × ability)

Var (str)

=   β 1 + β3匝 [ability] .

This  limit is  the  average  effect  of increasing  class  sizes  over the  distribution  of ability in the population.   This  is  a  useful policy  measure  if the policy  maker  only  cares  about  the average  effect.  If the policy maker is  concerned about the  separate  effect  on  low  and high ability students, for example, it is not useful.

(e) You decide to collect additional data on the average mark that the final–year students

earned in their first year at each school.   With  mark  denoting this new variable,  you hypothesise that, for some unknown coefficients θ, the following two conditions hold:

匝 [ability|str, mark] = 匝 [ability|mark] = θmark .                             (6)

Interpret the two conditions and compare them to (4). Do they seem reasonable?

ANSWER:  The first  condition  is  the  usual  redundancy  condition  which  is  required for  a proxy variable .  It says that once str and ability are included in the regression there is no need for mark .   The second condition states  that,  once  we  control for mark, str does  not help  explaining ability .   They  are  more plausible  than (4): They  allow for str and ability to  be correlated but in such a way that mark is a valid proxy for student performance .

(f) You run the following regression,

sc←ore = βˆ0 + βˆ1 str + βˆ2mark + βˆ3 (str × mark)

ANSWER:  Taking conditional expectations on both sides of (1),

匝 [score|str, mark]   =   β0 + β1 str + β2匝 [ability|str, mark]

+β3 (str × 匝 [ability|str, mark])

+匝 [u|str, mark]

= β0 + β1 str + β2 θmark+β3 θ (str × mark) ,

where we have used that

匝 [u|str, mark] = 匝 [匝 [u|str, ability, mark] |str, mark] = 0.

The  OLS  estimators  will  consistently  estimate  the  coefficients  in  the  above  equation.   In particular, limp βˆ1 = β 1 .

A.2 You are interested in the relationship between sales, profits and research & development (R&D).

For that purpose you obtain the following regression based on data collected from a sample of 45 firms in the UK concrete industry in 2016,

r←d = (1..3(4)6(2)9) + (..11(2)6(1)) log (sales) + (..04(0)6(7))profit, 2 = .079,                          (7)

where rd is expenditures on R&D of a firm as percentage of its annual sales, sales is the firm’s annual sales (in millions GBP) and profit is its annual profits as percentage of sales.  Robust standard errors are reported in parentheses.

(a) Interpret the coefficient on log (sales). If sales increases by 10% what is the exact estimated

percentage point change in rd? Is this an economically large effect?

ANSWER: Assuming that MLR . 1 –MLR .4 are satisfied, the coefficient measures the ceteris paribus effect on rd from a change in log (sales):

∆r←d = .21∆ log (sales) .

Thus, the expected change in rd from a percentage change in sales is given by

∆r←d = .21∆ log (sales) = .21 log ╱ 1 + %∆sales、.                         (8)

In particular,  %∆sales = 10 leads  to ∆r←d = .21 log(1 + 100(10)) = .0200 .   That is,  we  expect

(b)  Test the hypothesis that rd does not change with sales against the alternative that it does

increase with sales. Perform the test at the 5% and 10% level. What is the p-value of the test? Conclude.

ANSWER:  We test H0  : βsales = 0 vs .  H1  : βsales  > 0 .  The t-statistic is

t = = 1.81

which we then compare with  1 .282  (10% critical value)  and 1 . 645  (5% critical value):   We reject H0  at both the 5% and 10% level.  The p-value is

p = Pr (t > 1.81) = 1 − Pr (t < 1.81) = 3.51%.

We  conclude  that  there  is  strong  statistical  evidence  supporting  that rd  does  change  with sales .

(c) You compute the F-test statistic of the hypothesis that sales and profit are jointly in- significant and obtain F = 4.12. Do you accept or reject the null at the 5% level? Explain.

ANSWER:  This  is  a  test  of the joint hypothesis H0  : βsales  = βprofit  = 0 and so  the F - statistic imposes two restrictions .  The  critical value  at the  5% level can  be  chosen as 3.00 (n = ∞)  or 3.2  (n = 45) .  In either case, we reject the null at the 5% level since F = 4.12 is bigger than both.

(d)  Do you trust the critical values that you used in (b) and (c) and the the p-value that you computed in (b)? Are they valid? What do you conclude about the reported test results?

ANSWER:  The  critical  values  used  in  (b)  and  (c)  are  based  on  a  large –sample  approxi- mation  of the finite –sample  distributions  of the  t  and F  statistics .   These  are  only  good approximation when sample size n is  big.  Here, n = 45 and so in this application they are probably a poor approximation of the actual critical values .  The same goes for the p-value . Alternatively,  one  can use  critical values from the  exact finite-sample  distributions assum- ing the regression error is normally distributed.  This assumption is  clearly violated in this application since the dependent variable rd is bounded and positive .  In conclusion, the test results are highly debatable and should not be trusted.  More data is neeeded.

(e) You estimate the following alternative regression model for rd,

(1.245)    (.014)    (.00000038)       (.047)

At what point does the estimated marginal effect of sales on rd become negative in this model?

ANSWER:  The  estimated marginal  effect  of sales is  .030 − .0000140sales which  becomes

sales = = 2142.86.

That is, when sales exceed 2. 14 billion GBP, the marginal effect on R&D becomes negative .

(f) Write up a composite model that would allow you to test (7) and (9), respectively, against

the composite model.  Would the outcomes of these two tests be able to determine which of the two models, (7) and (9), is the preferred one? Explain.

ANSWER:

rd = β0 + β1 sales + β2 sales2 + β3 log (sales) + β4profit + u.                 (10)

We  would then  test  the  two  nulls  of H1  : β 1  = β2  = 0 and H2  : β3  = 0 using  the  corre- sponding F-statistic (with 2 restrictions) and t-statistic, respectively.  If the outcomes of the tests are Reject-Reject or Accept-Accept, we would not be able to select one model over the other.

(g) You collect data on annual R&D, sales and profits of the same 45 firms in 2017 and re- estimate (9) by running a pooled regression across the two years, 2016 and 2017. A colleague tells you that you should rather estimate the model using the first-difference estimator. Is your colleague right? Explain.

ANSWER:  This  depends:   On  one  hand,  the pooled  regression  estimator  enjoys  a  bigger sample  size  (n = 90)  relative  to  the fixed  effects  estimator  (n = 45)  and so  we  expect  to be  able  to  draw  stronger  conclusions  based  on  the  pooled  regression.    This  assumes  that autocorrelation in the errors isn’t too positive, in which case the variance of the pooled OLS estimator might actually  be  bigger.  On the  other hand,  the fixed effects  estimator controls for certain  types  of endogeneity/omitted variables  that the pooled  OLS estimator does  not control for.  Thus, the fixed effects estimator is less likely to be biased.  If you are concerned about  this potential  endogeneity  bias,  the fixed  effects  estimator  is preferred.   If not,  the pooled OLS estimator is generally the  better one .

PART B

Answer ONE question from this section.

B.1 In “Rainfall and  Conflict:  A  Cautionary Tale”  (Journal of Development Economics,  2015),

Heather Sarsons studies whether lower income can lead to more violent conflict among religious groups in India.  She studies a sample of 142 districts in the country’s 28 states.  Simplifying things a bit, the baseline equation of interest is:

28

Ci = βYi +      γs1 [Si = s] + εi ,

s=1

where Ci  (“conflict”) is the number of riots in district i in a particular year, Yi  (“income”) is income per capita, Si  is the state in which district i is located, 1 [Si = s] indicates a dummy variable which takes the value of one when Si = s, and εi  is the error term.

(a) Why may the OLS estimate of β be inconsistent? Provide at least one economic justification.

ANSWER: E.g.  reverse causality:  conflict may itself reduce income .

Sarsons proceeds to use an instrumental variable strategy:  she instruments income with two measures of rainfall in the district. The first one, R1i, is the amount of rainfall in district i in the year of study minus its typical value (across many years) for the district. The second measure, R2i, is a dummy variable that R1i  is below its 20th percentile.  The idea is that agricultural production is a key source of income in much of India and it relies on sufficient rainfall.

(b) Explain in detail (step by step) how her instrumental variable estimate βˆ is constructed from data on (Ci, Yi, R1i, R2i, Si). Then write down the formal conditions under which βˆ is consistent for β . Which of them can be tested?  For those which can, describe the testing procedure.  For those which cannot, explain why not.

ANSWER: 2SLS. First, regress Yi  on R1i, R2i  and all the state dummies and take fitted values, i .  Then regress Ci  on i  and the state dummies and take the coefficient at i .

There are two conditions .  Exogeneity:  E [R1iεi] = E [R2iεi] = 0 .  Relevance:  in the first stage, at least one of the coefficients on R1i  and R2i  is non-zero .  Both can be tested here .  Exogeneity can be  tested  by  the  overidentification  test which  rejects  if the  IV estimates  using  each  instrument separately are statistically different.  Relevance  can be tested by the F -test on the  coefficients  at the instruments in the first stage regression.

(c) Why does Sarsons subtract the typical rainfall in the district when constructing R1i? Which condition or conditions from part (b) would be more likely violated if she did not do this? Give an economic justification.

ANSWER:  Exogeneity  would  be  more  likely  violated.   While  the  deviation  between  the  current and the typical rainfall is essentially randomly assigned, the realized rainfall is not.  For instance, in  regions  with  systematically  less  rainfall,  we  may  expect  to  see  different  crops  grown.   Some crops may require larger farms and more economic inequality, leading to more conflict regardless of income .

For simplicity, drop R2i  and keep R1i  as the single instrument in the final parts of the question. Sarsons observes that in some Indian districts there are dams on local rivers, and thus reservoirs of water which do not dry out even in low-rainfall years. This should make income less dependent on weather. Another issue is that the causal effects of income on conflict can be heterogeneous across regions.

(d) With these complications, can the instrumental variable estimate βˆ still be interpreted as some average of causal effects of income on conflict and, if so, what kind of average?  Which condition or conditions would have to be added, compared to part (b), for such an interpretation to be valid? Is it (or are they) plausible?

ANSWER: Dams imply that the first-stage effects π 1i  of rainfall on income are heterogeneous .  In this case, the IV coefficient has a LATE interpretation, as the average of causal effects weighted by  π 1i .   In particular,  it  would put  lower  weights  on  regions  with  dams .    This  interpretation

requires monotonicity:  that more rainfall is always good for income .  This can be violated if there may be floods which are also bad for agricultural productivity.  (Discussions of independence and exclusion are welcome  but optional since they are roughly covered by the  exogeneity assumption from before .)

(e) Sarsons finds that in the districts with a dam the reduced-form coefficient is significantly different from zero, but the first-stage coefficient is not. She concludes that rainfall may not be an exogenous instrument. Explain intuitively and formally how she makes this conclusion.

ANSWER:  Focus  on  the  districts  with  a  dam, for which  the  instrument is  not relevant.  Intu- itively,  if exogeneity holds,  then  conflict  can  only  be  correlated with rainfall through  the  causal chain  rainfall → income  → conflict.   However,  since  rainfall  does  not  affect income,  this  cor- relation  should  be  zero,  and  the  reduced-form  coefficient  should  be  zero .    Formally,  we  have Yi = π 1iR1i + δs1 [Si = s] + ui  where π 1i = 0 and Cov [R1i, ui] = 0 .  Then

28

Ci = βYi +      γs1 [Si = s] + εi

s=1

28

=       (γs + βδs) 1 [Si = s] + βui + εi .

s=1

Exogeneity implies Cov [R1i, βui + εi] = 0,  and thus a zero reduced-form coefficient.