Justify all claims in your solutions and state the results that you use. You may only use results that have been covered in Weeks 1– 11.

Exercise  1.  Some exercises on the Week 10 exercise sheet will give you all the tools you need for this problem. You should work through those exercises, but you can use them without including proofs of them.

Let b1  = (2, 2) and b2  = (−4, 4).

1. Is β0  = {b1 ,b2 } a basis of Z2 ?

2. Let B = spanZ (β0 ). Prove that B is a free abelian group of rank 2.

3. Find a basis β = {b,b} of B, a basis γ = {c1 ,c2 } of Z2 , and positive integers d1   | d2  such that b = d1 c1  and b = d2 c2 .

4. Express Z2 /B as a direct product of cyclic groups.

Exercise 2.  Let A be an abelian group and let B be a free abelian group of finite rank.  Prove that for every surjective homomorphism π : A → B there exists a homomorphism ι : B → A such that π ◦ ι = idB .

Exercise 3.  Let p be a prime and let Fp  = Z/pZ. Note that SL2 (Fp ) Let P1 (Fp ) be the set of all lines ℓ ⊆ Fp(2)  through the origin of Fp(2) .

of form {at + b : t ∈ Fp } for some a,b ∈ Fp .

acts on Fp(2)  via matrix multiplication. Recall that a line l in Fp(2)  is a subset