Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT301 Assignment 5

2022

Justify all claims in your solutions and state the results that you use. You may only use results that have been covered in lectures, tutorials, or in Chapters 0– 11 in Gallian.

Exercise 1.

1. Is it true that G  G/H × H for every abelian group G and every subgroup H ≤ G?

2. Is it true that for all groups G1 ,G2 , every subgroup of G1  × G2  is of the form H1  × H2  for H1  ≤ G1 and H2  ≤ G2 ?

Exercise 2.

1. For which n > 1 do we have D2n   Dn  × Z/2Z?

2. For which n,m > 1 we have Dmn   Dn  × Z/mZ?

Exercise 3.  Let n be a positive integer and let G be an abelian group of order 2n . What are the possible values for the number of elements of G of order 2?

Exercise  4.  Let p be a prime.  Without using the classification of finite abelian groups, classify (up to isomorphism) all finite abelian groups with every non-identity element having order p.  (Note that when p = 2 this gives a classification of all finite groups with every non-identity element having order 2, since every such group is automatically abelian.)

Exercise 5.  Let A be the finite abelian group

A = Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ Z/22 Z ⊕ Z/32 Z ⊕ Z/33 Z ⊕ Z/5Z ⊕ Z/52 Z ⊕ Z/52 Z ⊕ Z/52 Z.

Determine the invariant factors of A, that is, the positive integers d1 , . . . ,dr  such that d1  | · · · | dr  and A  Z/d1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/dr Z.