Exercise 1.  Let G be a group and suppose that H is a normal subgroup of G.  Prove that the following statements are equivalent:

1.  H is such that for every normal subgroup N of G satisfying H ≤ N ≤ G we must have N = G or N = H .

2.  G/H has no non-trivial normal subgroups.

Proof.  (⇒)  Suppose that K  ⊂ G/H  is a non-trvial normal subgroup of G/H .   Consider the canonical projection p : G ⇒ G/H . We know that the preimage p−1 (K) ⊂ G is a subgroup, it strictly contains H due to non-triviality in the quotient, and it is a normal subgroup: for every g ∈ G and k\  ∈ p−1 (K) we have

p(gk\g −1) = p(g)p(k\ )p(g)−1 ,

and p(k\ ) ∈ K, so p(gk\g −1) ∈ K as well, so the preimage is normal, which leads to a contradiction.             (⇐) The idea is to consider the same projection. If N is a normal subgroup satisfying H ≤ N ≤ G, then

p(N) ⊂ G/H is a normal subgroup, so p(N) = {eH} or p(N) = G/H, which is equivalent to N = H or

N = G, respectively.

Exercise 2.  Let G be the subgroup of GL4 (R) defined by

G = { (0(A)   B(∗)) ,A,B ∈ GL2 (R) and ∗ ∈ Mat2×2 (R)} .

Let N be the subgroup of G defined by

N = { (0(I2)

I2(∗)) , ∗ ∈ Mat2×2 (R)} ,

where I2   ∈ GL2 (R) is the 2 × 2 identity matrix.  Prove that N is a normal subgroup of G and give an isomorphism between G/N and a group that is not a quotient group.

Proof.  Define ϕ : G → GL2 (R) × GL2 (R) by

ϕ ((0(A)   B(∗))) = (A,B)

for all  (0(A)   B(∗)) ∈ G. The map ϕ is a homomorphism since for all  ) , ) ∈ G, we have

)( ) = )

for some X3  ∈ Mat2×2 (R).  Also, the homomorphism ϕ is surjective and its kernel is N .  Therefore N is a normal subgroup of G and the map

G/N −→ GL2 (R) × GL2 (R)

gN -−→ ϕ(g)

is a well-defined isomorphism by the First Isomorphism Theorem.

Exercise 3.  Let G be a group.  Suppose that the quotient of G by one of its abelian normal subgroups is abelian. Prove that if H is a subgroup of G, then the quotient of H by one of its abelian normal subgroups is abelian.  (Hint: Apply the Second Isomorphism Theorem.)

Proof.  Let N be an abelian normal subgroup of G such that G/N is abelian. We will show that the subgroup H ∩ N of H is an abelian normal subgroup of H such that H/H ∩ N is abelian.  Since H ∩ N ≤ N and N is abelian, we have that H ∩ N is abelian.  By the Second Isomorphism theorem, we have that H ∩ N is a normal subgroup of H and

H/H ∩ N  HN/N.

Finally, since HN/N ≤ G/N and G is abelian, we have that HN/N and therefore H/H ∩ N is abelian.   

Exercise 4. Let p,q,r be distinct primes and let A be a finite abelian group of order pqr . Without using the classification of finite abelian groups, prove that A  Z/pqrZ.  (Hint: Show that A  Z/pZ×Z/qZ×Z/rZ.)

Proof.  By Cauchy’s Theorem for abelian groups there exist b,c,d ∈  A such that o(b) = p, o(c) = q, and o(d) = r .  Let B = ⟨b⟩, C = ⟨c⟩, and D = ⟨d⟩ .  It suffices to prove that A is the internal direct product A = B × C × D . Indeed, if this is the case then we have

A  Z/pZ × Z/qZ × Z/rZ  Z/pqrZ

since B  Z/pZ, C  Z/qZ, D  Z/rZ, and p,q,r are mutually coprime. By the theorem on internal direct products, it suffices to show the following

1.  B,C,D 司 A,

2.  A = BCD, and

3.  B ∩ C = {e} and BC ∩ D = {e} .

Item 1 is immediate since A is abelian. By Lagrange’s theorem, we have

|B ∩ C|  I |B|, |C|

Since |B| = p and |C| = q are distinct primes, it follows that |B ∩ C| = 1. Therefore B ∩ C = {e} . Now, we

have

|BC| =  =  = pq .

Since A is abelian, we have BC = CB, and therefore BC is a subgroup of A.  By Lagrange’s theorem, we have

|BC ∩ D|  I |BC|, |D|

Since |BC| = pq and |D| = r are relatively prime, it follows that |BC ∩ D| = 1.  Therefore BC ∩ D = {e} . Thus, Item 3 above holds. Finally, we have

|BCD| = |(BC)D| =  =  = pqr = |A|,

so BCD = A and Item 2 above holds.

Exercise 5.  Let G be a finite group and let N be a normal subgroup of G such that gcd(|N|, |G/N|) = 1. Prove the following:

1. If H is a subgroup of G having the same order as G/N, then G = HN .

2.  Let σ be an automorphism of G. Prove that σ(N) = N .

Proof.       1.  Equivalently, we can prove that |HN| = |G| .  But we know that |HN| =  .  As |H| =

|G/N| = |G|/|N|, we get

|HN| =      |G||N|       =      |G|     

The intersection H ∩ N is a subgroup in both H and N, so Lagrange implies that  |H ∩ N|  divides both |G/N| = |H| and |N|, which, together with the fact that both these orders are coprime, implies |H ∩ N| = 1, which finally yields |G| = |HN| .