ECO 394D final exam (take-home)

This is a solo effort only. You may not collaborate with other students on this take-home exam.

There is no explicit time limit to finish the questions. Just submit your answers by the deadline (8/15 @ 10 PM) via Canvas.

Unless the problem says otherwise, you must show your work to receive full credit.

Problem 1 (10 points)

Let A be the event “rain tomorrow,” and let B be the information “the weather app on your phone says it will rain tomorrow.” You know that only 15% of all days in Central Texas are rainy. Moreover, you know the track record of your weather app: when it rains, your app gives the correct forecast (and correctly says it will say tomorrow) 90% of the time. When it doesn’t rain, your app raises a false alarm (and incorrectly says it will rain tomorrow) 5% of the time. Use this information to calculate the probability of rain tomorrow (A), given that your phone says it will rain tomorrow (B).

Problem 2 (10 points)

Suppose that X is a normally distributed random variable with mean µ = 3 and variance σ 2  = 42 . Using facts you know about the normal distribution, prove that

P (X > 1) = 1 - Φ l 、  ,

where Φ is the CDF of a standard normal random variable with mean 0 and variance 1.

Problem 3 (10 points)

Suppose that X has a continuous uniform distribution, X ~ Unif(0, 1). Let a and b be fixed numbers where 0 < a < b < 1. Define Y and Z as follows:

Y = h(0)

Z =

Are Y and Z independent? Show why or why not by appealing to the formal definition of independence.

Problem 4 (20 points)

Please label the following four statements as either true or false.  You do not need to show any work or explain your answer.

A)  A discrete random variable X can be described in terms of a probability density function (PDF) if and only if X has a finite expected value and finite variance.

B) If X and Y are two random variables, then E (X + Y) = E (X ) + E (Y) if and only if X and Y are independent.

C) If X and Y are two random variables, then var(X - Y) = var(X) - var(Y) if and only if X and Y are independent.

D)  In the Fisherian approach to hypothesis testing, the p-value represents the probability of observing a test statistic in your pre-specified rejection region (i.e. the probability of a Type-1 error under the null hypothesis).

Problem 5 (25 points)

Let X1 , . . . , Xn  be independent and identically distributed (IID) samples from some distribution whose CDF

n

=

A)  For any fixed x, the empirical CDF n (x) is a random variable. What are its mean and variance?  (5 points)

B)  Recall that a sequence of random variables Y1 , Y2 , . . . converges in probability to some other random

variable Y if for every ∈ > 0, P (oYn  - Y o > ∈) -_ 0 as n -_ o. Use your result in Part A, together

C)  Go to the stocks_bonds .csv data available on Canvas, which gives annual returns on the S&P 500 going back to 1928.  Let X be the return on the S&P 500 in a single year (column SP500), and let F (x) be the unknown CDF describing the probability distribution of X . Use this data, together with your derivations above, to construct a 95% large-sample confidence interval for F (-0.1): that is, the probability that the S&P 500 will lose 10% or more in a given year. For this purpose, you can assume that the samples in this data set are IID draws from the unknown distribution whose CDF is F (x).  (10 points)

Problem 6 (25 points)

Suppose that X1 , . . . , XN  are independent samples from a Poisson distribution with rate parameter λ, which

has PMF

P (X = x) = f (x; λ) = e−λ

Please answer the following questions.

Part A. Show that the sample mean N  is the maximum-likelihood estimate (MLE) for the rate parameter

of the Poisson distribution.  (10 points)

Part B. Two basic facts about the Poisson are that E (Xi ) = λ and var(Xi ) = λ . You don’t need to show these.  Rather, use these facts to derive a formula for a large-sample 95% confidence interval for the true rate parameter, based on the sample X1 , . . . , XN . Your upper and lower bounds of the interval should not