1 (of 3).

Let (Ω , F, P) be a probability space, let (Ft )t≥0  be a filtration on this space and let W be a Brownian Motion with respect to (Ft )t≥0 .

(a)   Show whether ξ , η defined by

,．5,               if t e [0, 5)                       ,．一3,     if t e [0, 5)

．                                                                                                                                                                                                                         ．

ξ(t)  =  ,    η(t)  =．．．2(2)

．                                                                                                                                                                                                                         ．

．                                                                                                                                                                                                                         ．

(0,                if t ≥ 15                            (0,         if t ≥ 11

are random step processes. Give reasons for your answer. If any of these processes is indeed a random step process, then calculate the mean and

variance of its stochastic integral I(．).                                                  [9]

(b)   Let n e N. Define a process X by setting

Xt  = exp ╱ 一Wtn + !0 t  ┌ n (n2一 1) Ws(n) 一2 一 Wn一1) ┐ ds、一 1, t ≥ 0.

Prove that X can be written as a stochastic Itˆo integral and determine its integrand.                                                                                         [9]

(c)   Define the space Mlá(2)c (0, &) and determine if the processes A and B defined by

At  = cos(Wt ) and Bt  = exp ╱ Wt4 、, t ≥ 0

are in Mlá(2)c (0, &). Carefully justify your answer.                                 [7]

2 (of 3).

Let (Ω , F, P) be a probability space, let (Ft )t≥0  be a filtration on this space and let W be a Brownian Motion with respect to (Ft )t≥0 .

(a)   Define a stochastic process X by setting

Xt  = sin (Wt ) + !0 t  sin (Ws ) ds.

Find the quadratic variation of the process X .  Carefully justify your answer. In particular, ensure that your definition of the quadratic vari- ation applies.                                                                                       [11]

(b)   Suppose f  :  R  → R is a continuously differentiable strictly positive function. Consider the the stochastic differential equation

dXt  = f (Xt ) f′ (Xt ) dt + f (Xt ) dWt ,     X0  = 0.

Solve the stochastic differential equation. Carefully justify your answer. Hint: You may wish to consider the function

g (x) = !0 α dy .

[14]

3 (of 3).     Suppose that σ > 0, r > 0, T > 0 and µ e R are fixed.  Let (Ω , F, P) be

a probability space and let W be a Brownian motion defined on this space. Consider the Black-Scholes model, i.e.  a market consisting of a stock and a bond with prices given by stochastic processes S and B respectively. Assume that S and B are solutions to the following (stochastic) differential equations:

dSt  = µSt dt + σSt dWt , S0  > 0, t ≥ 0,

dBt  = rBt dt, t ≥ 0.

For this question you may use the Black-Scholes formula without proof pro- vided you state it clearly.

(a)   Does there exist a measure Q absolutely continuous with respect to P such that the stock price S in the Black-Scholes model is a Brownian motion on the probability space (Ω , F, Q)? Carefully justify your answer.

[5]

(b)   Suppose that C (t, S, r, σ) denotes the price at time t e [0, T] of a Euro- pean call with strike K and exercise time T in the Black-Scholes model. Calculate the functions  and  . Carefully justify your answer.     [7]

(c)   Suppose a trader sells at time 0 a European call option with strike K > 0 and exercise time T at implied volatility σ 1 , i.e. the price is the Black- Scholes value C (0, S0 ) computed with σ = σ 1 . The trader then sets up a self-financing replication strategy based on his assumption that σ = σ 1 with initial investment X0  = C (0, S0 ) and ϕt  =  (t, St ) . Suppose that

the actual price process for the stock price St  satisfies the equation dSt  = µSt dt + σ2 St dWt .

Show that the trader will make a profit (with probability one) as long

as σ 1  > σ2 . Carefully justify your answer.                                          [13]

一 exp (Ys ) nWs(n) 一1 .                                                                      9 Marks

(c)   We say that a process (ξt )t≥0  belongs to class Mlá(2)c (0, &) if and only if

(i)    (ξt )t≥0  is adapted to the filtration (Ft )t≥0 .

(ii)   the trajectories of (ξt )t≥0  are left continuous or right continuous a.s. (iii)   For every T > 0, E !0T |ξt | 2 dt < &.

Note that the process A is a continuous function of W and W is BM (which is adapted and has by definition a.s.  continuous sample paths). Hence, we can deduce that A is adapted with continuous sample paths. It remains to check the integrability condition.   For every T > 0 using that the cosine function is bounded above by one we have

!0 T E ╱cos2 (Wt )、dt ≤ !0 T dt = T < &.

For the process B note that for any t > 0

(2πt)1/2 E exp ╱Wt4 、   =   !一&(&) exp ╱x4、exp ╱ 一x2 /(2t)、dx

≥   !(&2t) − 1/2  exp ╱x4、exp ╱ 一x2 /(2t)、dx ≥ !(&2t) − 1/2  dx.

It is clear that the last integral diverges and, hence, !0T E (exp ╱Wt4、2] dt

diverges for any T > 0 and it follows that B  Mlo(2)c (0, &) .                  

 7 Marks 

√             |

Remarks.    αj similαr seen? aj unseen? cj Arst pαrt aookwork αnd similαr seen扌 second pαrt unseen卜

2.               (a)   We will use the definition of the quadratic variation for a (square-integrable) martingale. First, note that by the Ito lemma

sin (Wt ) = !0 t cos (Ws ) dWs 一 !0 t  sin (Ws ) ds.

and, hence,

sin (Wt ) + !0 t  sin (Ws ) ds = !0 t cos (Ws ) dWs .

It follows that

Xt  = !0 t cos (Ws ) dWs .

In order to show that X is a martingale we need to check that cos (Ws ) e Mlo(2)c (0, &) . Note that cos (Ws ) is a continuous function of Ft 一Brownian

motion, and therefore adapted with continuous sample paths.  The in- tegrability condition follows from the fact that  |cos (x)|  ≤  1. Hence, cos (Ws ) e Mlá(2)c (0, &) and by the martingale property of the stochastic integral X is a martingale.  Applying the Ito lemma with f (x) = x2  to the Ito process X we get

Xt(2)  = !0 t 2Xs cos (Ws ) dWs + !0 t cos2 (Ws ) ds.

We need to check that 2Xs cos (Ws ) is in Mlá(2)c (0, &) . Arguing as be- fore for cos (Ws ) and noting that the stochastic integral is adapted with continuous sample (if necessary by considering a suitable version of the process) it follows the process is adapted with continuous sample paths and it remains to check the square-integrability condition.   Note that using the Ito-Isometry and the bounds on the cosine function

E (2Xs cos (Ws ))2  ≤ 4EXs(2)  = 4 !0 t E cos2 (Ws ) ds ≤ 4t

and it follows that the square-integrability condition holds.   Writing Zt  =!0(t) cos2 (Ws ) ds we see that Xt(2)  一 Zt  is a martingale. Furthermore, Z is a continuous, increasing and adapted process with Z0  = 0. Hence,

Z is the quadratic variation process of the square-integrable m卜artingal

X.                                                                                                            11 Marks 

√               |

(b)   Since f is strictly positive the function g is a strictly increasing and, hence, invertible. By the fundamental theorem of calculus we have

g\ (x) =    1  

Moreover, by the inverse function theorem g一1  is differentiable with

╱g一1、\ (y) = g\ (g1一1 (y)) = f ╱g一1 (y)、

and

╱g一1、\\ (y) = f\ ╱g一1 (y)、f ╱g一1 (y)、.

Observe that (g一1 )\\ is continuous as it is the composition and product of continuous functions (g一1 is continuous as it is differentiable). Hence, we maye apply the Ito lemma in its simple form with h (x) = g一1 (x + g (0)) which gives

g一1 (Wt + g (0)) = g一1 (g (0)) + !0 t f ╱g一1 (Ws + g (0))、dWs

+  !0 t f\ ╱g一1 (Ws + g (0))、f ╱g一1 (Ws + g (0))、ds.

Writing

Xt  = g一1 (Wt + g (0))

this becomes

Xt  = !0 t f (Xs ) dWs +  !0 t f (Xs ) f\ (Xs )ds,

which implies that (1) solves the SDE with X0  = 0.

(1)

卜|

 14 Marks 

√               |

Remarks.   αj unseen in this form? aj unseen

3.               (a)   Suppose for a contradiction such a measure exists and S is Brownian motion under the measure Q.   Denote by A the event S0   = 0. Then Q (A) = 1.  by the definition of Brownian motion. However, by defini- tion of the stock price in the Black-Scholes model S0   > 0 and, hence, P (A) = 0. Since the measure Q is assumed to be absolutely continuous

with respect to P this implies that Q (A) = 0 which is a contradiction.

(b)   The Black-Scholes formula is given by:

Theorem 0.1 (Black-Scholes formula for a European call)    The so扌 lution to the 幺lαck扌scholes Р办丑 with terminαl vαlue g(s) = (S 一 K)+ ?     S > 0 is given a夕 the formulα

C(t, S) = SΦ(d1 ) 一 Ke一r(T 一t)Φ(d2 ),

where

d1     :   = 一Tt)一)

d2     :   = d1 一 σ ^T 一 t.

Note that

Φ(t) =  !一t&  e一  dx,    t e R.

We have

∂C (t, S, r, σ) = SΦ\ (d1 ) ∂d1 +K (T 一 t) e一r(T 一t)Φ(d2 )一Ke一r(T 一t)Φ\ (d2 ) ∂d2

(c)   The wealth process of the replicating portfolio is self-financing and sat-

isfies

dXt  =  (t, St ) dSt + ╱Xt 一 St   (t, St )、rdt,

where St  is given by

dSt  = µSt dt + σ2 St dWt .

Applying the Ito lemma to Yt  = C (t, St ) we get

dYt  =  (t, St ) dSt + ╱  (t, St ) +  (σ2 St )2   (t, St )、dt.

Thus the hedging error Zt  = Xt 一 C (t, St ) satisfies

dZt  = ╱rXt 一 rSt   (t, St ) 一  (t, St ) 一  (σ2 St )2   (t, St )、dt

and using that the function C (t, S) satisfies the Black-Scholes equation (with σ1 )

dZt  = ╱rXt 一 rC (t, St ) +  ╱(σ1 )2 一 (σ2 )2、St(2)  (t, St )、dt.

Writing  (t, St ) = Γt  we have

Zt  = rZt + St(2)  ╱(σ1 )2 一 (σ2 )2、Γt

which gives solving the ODE and using that Z0  = 0

XT  一 C (T, ST ) = !0 T er(T 一t)St(2)  ╱(σ1 )2 一 (σ2 )2、Γt dt,

which is strictly positive for σ 1  > σ2  provided we can show that Γt  > 0. Differentiating the Black-Scholes formula from part b) we have

 (t, S) = Φ(d1 ) + S Φ\ (d1 ) 一 Ke一r(T 一t)Φ\ (d2 )

Now (as seen above),

Φ\ (d2 )   =   e一(d1 )2 /2ed1 o ^T 一t一o2 (T 一t)/2                     =    e一(d1 )2 /2e(r+)(T 一t)+ln()一o2 (T 一t)/2 =    e一(d1 )2 /2er(T 一t)

=    K er(T 一t)Φ\ (d1 )

and it follows that

∂C

∂S Differentiating again we have

(t, S) = Φ(d1 ).