Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MTH108:  HOMEWORK 1 – WARM-UP PROBLEMS

Section A – Warm-up questions

A1.  If y x u2 /v , then what is the effect of simultaneously decreasing u by 20% and v by 60%?

A2.  Sektch the graphs of the following functions f : R → R:

x    

(i) f (x) = 2 _ e-Ⅹ ;     (ii) f (x) =              ;     (iii) (iii) f (x) = e-Ⅹ cos(x) .

A3.  Identify the set of real numbers x that satisfy lx2 _ 4x l s 2x .

A4.  Use the Intermediate Value Theorem to prove that x3 + x _ 1 has a positive root .

A5.  Describe how the behaviour of the sequence (xn ), where xn  = rn , depends on the real parameter r . A6.  How does the number of real roots of x3 _ 12x2 + 36x + r depend on the real parameter r?

A7.  For which real values of r is the matrix  ╱ 1(r)   2(r2)、  invertible?

A8.  For which real values of r does the matrix  、  have a real eigenvalue?

Section C – Investigations

C1. Consider the function F : Z+  → Z+  defined on the positive integers by

F (x) = , 

Investigate what happens if we take a positive integer starting value x and apply the function F over and over again .

C2. Consider a set A with finitely many elements and a function F : A → A .  Investigate what happens if we take an element a e A and then apply the function F over and over again .  Try to make a conjecture that describes the behaviour of sequences of the form

a, F (a), F (F (a)), F (F (F (a))) , . . .

and then prove the conjecture .