1.  (9 marks)

(a) Determine by direct substitution which (if any) of the following functions is a solution to

the differential equation

dy       y2

dt       t ,

i.  φ 1 (t) = 0

ii.  φ2 (t) =

iii.  φ3 (t) = 

You must present your answer in a logical manner to get any marks for this question. You will not get marks for solving the differential equation directly.

(b) Find a function f (y) so that y(t) = e −t  is a solution to the differential equation

dy

Your function should not depend explicitly on t.  To get marks for this question you will have to prove that the function you wrote down is a solution to the differential equation.

2.  (10 marks)

(a) Find a one-parameter family of solutions to the differential equation

= (y + 1)2 (t + 1)

dt

that is, find a formula for solutions containing one arbitrary constant.

(b) Are there any solutions to the differential equation that are not in the family you found in

part (a)? Explain your answer.

(c) Find a solution to the differential equation above that also satisfies the initial condition y(0) = 3.

3.  (8 marks) On the last page of this assignment, there are two copies of the slope field for a

differential equation

= f (t, x)

dt

for some function f .

(a)  On one copy of the slope field, sketch a representative selection of solutions.  Four or five

solutions, illustrating the qualitatively different types of solution that can occur, will be sufficient.

(b)  On the other copy of the slope field, carefully draw the numerical solution you would obtain

if you used two steps of Euler’s method with h = 2.0 to approximate the solution through (t0 , x0 )  =  (-3, 2) and,  similarly, two steps with  h  =  1.0 to approximate the solution through (t0 , x0 ) = (-2, -1).

4.  (8 marks) What do the Existence and Uniqueness Theorems tell us about solutions to the initial

value problem

dy       ^y

dt       t  ,

y(t0 ) = y0 .

Consider all possible choices of t0  and y0 . You should not try to find solutions to the differential equation. 

5.  (9 marks) For each of the following three slope field plots, write down a function f (t, x) such that the slope field for the differential equation

dx

would be qualitatively like the slope field shown. In each case, give reasons why you think your differential equation could have the slope field shown.

6.  (16 marks) For each of the following differential equations, sketch the phase line, identify the type of each equilibrium solution (e.g., sink, source), and describe the longterm behaviour of all solutions.

(a)

= y(y + 2)(y - 2)

dt

(b)

dy