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MSIN0022

Mathematics III (Probability Theory)

Assignment 2

1.  [15 points] The random variable X has the probability density function f(x) =

(a)  [7 points] What is the value of C?

(b)  [8 points] Find P(X > 1).

2.  [10 points] Suppose that the number of miles that a car can run before its battery wears out is exponentially distributed with an average value of 10,000 miles.  John purchases an old battery, but does not know its age. If John desires to take a 5,000-mile trip, what is the probability that he will be able to complete the trip without having to replace the battery?

3.  [20 points] An ambulance travels back and forth at a constant speed along a road of length

L. At a certain moment of time, an accident occurs at a point uniformly distributed on the road of length L.  Assume that the ambulance’s location is also uniformly distributed, and also assume independence of the variables.  Let X denote the location of the ambulance at the time of the accident, and let Y denote the location of the accident.

(a)  [6 points] What are the marginal pdfs of X and Y?

(b)  [7 points] What is the joint pdf fX,Y (x, y)?

(c)  [7 points] What is the cdf of the distance between the locations of the ambulance and the accident?

4.  [15 points] Let {An  : n ≥ 1} and {Bn  : n ≥ 1} be independent sequences of independent random variables with An  distributed the same as Bn  for all n ≥ 1 and

P[An = n] = 1 − P[An = 0] =  for n ≥ 1.

Let Tn = AnBn . What are the mean and variance of Tn?

5.  [20 points] Assume that we roll a flawed die multiple times, and assume that the successive rolls are independent of each other.  Each roll can result in a given outcome i, i = 1, · · · , 6, with probability pi  where "i(6)=1 pi  = 1.  Let N be a random variable denoting the number of rolls which are needed to obtain an outcome that is not equal to 1, and let X be that outcome.  For example, if you roll 1, 1, 4, then N = 3 since you needed 3 rolls to get an outcome that is not equal to 1, and X = 4 because that is the first outcome that you got that is different from 1.

(a)  [6 points] Find P(N = n), n ≥ 1.

(b)  [7 points] Find P(X = j), j = 2, · · · , 6.

(c)  [7 points] Find P(N = n, X = j).

6.  [20 points] Consider a number X drawn at random from the set of numbers {1, 2, 3, 4, 5}. Now, choose a number at random from the subset no larger than X , that is from {1, · · · , X}. Call this second number Y .

(a)  [7 points] Find the joint PMF of X and Y .

(b)  [8 points] Find the conditional PMF of X given that Y = j . Do this for j = 1, 2, 3, 4, 5.

(c)  [5 points] Are X and Y independent? Why?