Start a new page clearly marked Question 1

1. i)  Cells are cultured in a petri dish and observations are made of the number over time. It is observed that the cells split into two after a time interval ∆t. Write down a discrete difference equation describing the growth in number of cells and solve this equation to give the formula for the number of cells after n time intervals Nn , assuming the number of cells after zero time intervals is N0 .

ii)  Assuming a very large number of cells, write down a continuous ordinary differential equation (ODE) describing the number of cells N(t) as a function of time t and show that the solution to this equation has the form

N(t) = Aeαt .                                           (1)

Define the parameters A and α, and relate them to the parameters of the difference equation in part i.

iii)  Experimental data is available tracking the number of cells with time. Starting from the premise that people find it easier to identify straight lines visually, how would you plot the data graphically to help confirm

(1)? Explain why this works mathematically.

iv)  Propose an extension to the model of cell growth you developed in part ii with an additional term describing the effect of cells coming into contact with other cells, limiting their growth.  Determine the solution to this new model.

Start a new page clearly marked Question 2

2. You are working to develop an autonomous underwater vehicle.

i)  You are experimenting with different vehicle sizes and need to add an additional mass (ballast) to the vehicle to ensure it retains a constant total mass (M) to volume (V) ratio. Assuming all the internal components of the vehicle retain the same mass as the size of the vehicle is changed, and the shell of the vehicle has constant thickness, implying constant mass per unit area, determine a formula relating the necessary mass of the ballast as a function the length of the vehicle (L). Specify your assumptions and identify any unknown parameters.

ii)  The engineers have a prototype and wish to find an empirical formula relating the pressure experienced by the vehicle to a range of factors. Your colleagues determine that the following factors may be important: the density (ρ) of the water, acceleration of the vehicle (a), the force of propulsion exerted by the vehicle (F) and the angle of the vehicle relative to the horizontal plane (θ).

What is your advice to your colleagues in terms of the number of variables they will needed to describe the pressure experienced by the vehicle?

Start a new page clearly marked Question 3

3. Consider a compartment model for the uptake of heat into the ocean.  Di- vide the ocean into 3 compartments each with a temperature Ti  and a heat capacity ci . Heat enters the top compartment (1) at a rate I and leaves that compartment to space and the atmosphere at a rate αT1 .  Furthermore, heat is transferred from the top compartment into the middle compartment (2) at a rate k1T1  and from the middle compartment into the bottom compartment

(3) at a rate k2T2 .

i)  Draw a diagram describing the three compartments and the flow of heat into, out of and between them each of them.

ii)  The heat content of a layer i is given by Ti ci .  Write down a system of

3 ordinary differential equations describing the rate of change of temper- ature of each layer assuming the heat capacity of each layer is fixed in time.

iii)  Why is this system described as a ‘linear cascade’ ?

iv)  Determine the temperature of the top layer (T1 ) as a function of time assuming I , k1 , k2  and α are constant.

v)  The total heat content is closely related to the rate of sea level rise. Determine the total heat content (T1 c1  + T2 c2  + T3 c3 ) as a function of time.

Start a new page clearly marked Question 4

4. i)  The number of T-cells in the human body is controlled by several factors. Consider the following model describing the density of T-cells (T) in the human body where Λ and µ are positive constants

dT

= Λ − µT.

dt

a)  Define the parameters, Λ and µ, in terms of their putative processes and dimensions.

b)  Find a solution for T (t) given some initial density T0  and determine the location and stability of any equilibrium points.

ii)  Consider now the situation where a virus is introduced into the body with density V and growth rate r such that

dT

= Λ − µT + ∈TV,

dt

dV

= rV − σTV.

dt

Assuming ∈ and σ are positive constants, identify whether the T-cells and Virus act as predators, prey, competitors or cooperators. Explain.

a)  For this system of ODEs, determine equations for the T and V null- clines and determine the equilibrium points, if any.

b)  For Λ = 10, µ = 5, ∈ = 0.1, r = 10 and σ = 0.1 determine which of the four direction field shown on the next page (A, B, C or D) represents this system. Explain your choice.

c)  Determine the stability of the equilibrium points with respect to T and V for the above values. What might this imply with respect to the nature of solutions starting in the population quadrant?

iii)  Explain why the stability properties of some equilibrium points are dif- ferent between Question 4i and Question 4ii.