(a) 2  points  Find the joint  probability function of X and Y  and draw the complete table with joint and marginal probabilities.

(b) 2 points Find the conditional probability density function of Y, given X = 0.

Exercise 4 (12 points)

A random variable x has the following probability density function:

f(x)=x+1

f(x)=1-x

f(x)=0

for - 1<x≤0;

for 0<x<1;

otherwise.

a)  (4 points) Graph the probability density function for X.

b)   (4  points)  Show  that  the  density  function  has  the  properties  of the probability density function. What would  be the  area  underneath the density function? Which are the boundaries of this area? Show both a geometrical solution, a mathematical solution (integrals).

c)  (4 points) Find the probability that X takes value between -0.5 and 0.5 both geometrically and mathematically using integrals .

PART B: answer all questions (total 48 points).

1.  Open STATA.

2.  Open the dataset EXAM.dta (located into SEES0083 Moodle page)

3.  Set a seed that is composed on the following way; follow the instruction keeping the order of actions

•   Your own year of birth (4-digit)

•   your own month of birth (2-digit)

•   your own day of birth (2-digit)

Example: if the date of birth is 1972 May the 9th         In STATA command window type: set seed 19720509

•   generate a random number

In STATA command window type: generate u = runiform()

•   drop the observations in which the newly created variable “u” (it should

be in your list of variables) is strictly greater than or equal to 0.5 In STATA command window type: drop if u>=0.5

Compliments!  You  have  now  created  a  unique  dataset  for  your exercise (in other words no other student has the same database) in which you need to perform the tasks below.

Exercise 5 (12 points)

A researcher is trying to understand whether the average sales in Spain (ES) are comparable to the average sales in Italy (IT). For this purpose, she is using the  database  you   have  just  created.  The  variable  for  sales   is  called “r_OperRevTurnThEuro”  (expressed   in   ‘000  of  Euros)  and   number  of employees is called “numberofemployees” . The first output analysed by the researcher  is  what  will  come  out  as  the  following  command  is  generated (summary stats for the two variables only for Spain):

In STATA command window type: sum r_OperRevTurnThEur

numberofemployees if country_ACRONYM=="ES"

•   Copy and paste the result into the exam sheet.

The second output analysed by the researcher is what will come out as the following command is generated (summary stats for the two variables only for Italy):

In STATA command window type: sum r_OperRevTurnThEur

numberofemployees if country_ACRONYM=="IT"

•   Copy and paste the result into the exam sheet.

1.  How would the researcher interpret the output of this tables?

a.  (3 points) Can the researcher conclude that there is a systematic (statistically significant) difference between the sales and number of employees in Spain and Italy?

2.  The researcher runs a more appropriate test i.e. a two-sample t-test for the comparison of the mean of sales in Spain (ES) vs. Italy (IT). The researcher sets its alpha at 0.01 (1%)

In STATA command window type : ttest r_OperRevTurnThEur,

by(country_ACRONYM)

•   Copy and paste the result into the exam sheet.

•   (3 points) What are the three null hypotheses and the three alternative hypotheses?

•   (6 points) What does the researcher conclude? Should the researcher be concerned about the difference between the two samples?

Exercise 6 (24 points)

Now the researcher runs four types of regression analyses:

1.  LEVEL of Value Added (name of variable r_addedvaluetheur, unit of measure thousands of euros) on LEVEL of fixed assets (name of variable r_fixedassetstheur, unit of measure thousand EUROS)

2.  LEVEL of Value Added (name of variable r_addedvaluetheur, unit of measure thousands of euros) on Natural LOG of fixed assets (name of variable LN_r_fixedassetstheur, unit of measure natural log of thousand EUROS)

3.  Natural LOG of Value Added (name of variable LN_r_addedvaluetheur, unit of measure natural log thousands of euros) on LEVEL of fixed assets (name  of  variable   r_fixedassetstheur,   unit  of  measure  thousand EUROS)

4.  Natural LOG of Value Added (name of variable LN_r_addedvaluetheur, unit of measure natural log thousands of euros) on Natural LOG of fixed assets  (name  of  variable  LN_r_fixedassetstheur,  unit  of  measure natural log of thousand EUROS)

•   Report the STATA output for all 4 models

Questions:

•   (8 points) FOR EACH OF THE 4 MODELS: Interpret the estimated two coefficients (constant and X variable, i.e. independent variable)

•   (8 points) FOR EACH OF THE 4 MODELS: What is the predicted level of value added for a company with 1 million euros in fixed assets?

•   (8 points) FOR EACH OF THE 4 MODELS: What is the expected change in value added if there is a positive change in fixed assets of 1 million euros?

Exercise 7(16 points)

The researcher from the exercise 6 decides to run a multiple regression analysis with an additional explanatory variable on the right-hand-side, which is number of employees (into STATA called numberofemployees). The researcher could use   the   variable   in   levels   or   in   transformed   natural   log   (in   STATA LN_numberofemployees).

•   Report the STATA output for all 4 NEW models level-level

level-log;

log-level;

log-log

Questions:

a)  (6 points) Look at the results of the four new models. Which model would you suggest to be the “best” and why? Explain in details the logic of your answer.

b)  (10 points) Comment the four regression outputs when compared to the exercise 8. You need to highlight the additional information the extra- variable can bring and explain for each regression the interpretation of the coefficients. Would a company be better off in increasing number of employees or fixed assets?

PART C

Exercise 8 (12 points)

What is the difference between exploratory factor analysis and confirmatory factor analysis?

•   (6 points) Explain the logic of your answers by drawing two graphs, one for exploratory and one for confirmatory and elaborate. For the latter also show the path diagram

•   (6  points)  Now  consider  a  path  diagram  with  Structural  Equation Modelling  in  the  book.  Identify  exogenous  constructs,  endogenous contracts  and  explain  the  difference  between  variable  in  ovals  and variable in squared boxes

Exercise 9 (12 points)

Look at the following dendrogram.

1  point) What  is the  maximum  number of groups the  cluster  analysis  can identify?

1  point)  What  is  the  minimum  number  of groups  the  cluster  analysis  can identify?

10 points) Find all the number and compositions of groups the cluster analysis can identify by changing the Euclidian distance cut-off points→ . In the example below the groups are identified with the cut-off point 40: ADBCEF and G: 2