1 Let X1 , . . . , Xn  be a sample from U(0, θ).

a) If n is an odd integer, find the density of the median of the sample.

b) Show that the median of the sample converges to the median of the population in proba- bility as n 二 o.

Hint: The beta density is given by

f (x) = xα − 1 (1 - x)β − 1 ,  0 < x < 1, α > 0, β > 0.

Mean=  and variance=  .                                                                   (10  pts)

2  (Chapter 7): Theoretical Exercises: 20, 21, 49, 55, Problems: 56, 77.     (10  pts) / each

3  (Chapter 6): Theoretical Exercise: 31                                                                      (10  pts)

4 The positive random variable X is said to be a lognormal random variable with parameters µ and σ 2  if log(X) is a normal random variable with mean µ and variance σ 2 .

a) Use the normal moment generating function to find the mean and variance of a lognormal random variable.

b) Given the density function

fZ (z) = exp{-  IzI},   -o < z < o.

Show that M(t) =  ,   -1 < t < 1.

c) Compute E(Z2n), n = 1, 2, ....

(20  pts)