1.                                          [10 questions, 25 marks, 2.5 marks per part]

Translate the following into GPLI. Provide a glossary for your translations (either a running glossary for all of your answers, or a glossary for each answer).  If you are unsure about your translation—for instance, if you think that there are multiple ways of interpreting the sentence—then provide a short justification of your choice of translation.

(i)  Anne and Billy are running and jumping only if Carla and Danny are too

(ii)  Anne introduced everyone who hadn’t already met Billy to Billy

(iii)  If only Billy loves Anne then Billy loves Anne but nobody other than Billy loves Anne

(iv)  If someone cheats on their final assessment, they will face serious consequences

(v)  Every woman loves some man who doesn’t love her back

(vi)  Everyone—except Anne, Billy, and Carla—is loved by Danny

(vii)  Someone other than Anne loves everyone who loves someone other than Billy

(viii)  Exactly one boy loves Anne and that boy is Danny

(ix)  At least two boys love everyone except Anne

(x)  Nothing identical to itself is not identical to something not identical to itself

2.                                          [10 questions, 25 marks, 2.5 marks per part]

The following questions concern GPLI models. In each case you are asked to explain your answer.  For the purpose of this assessment, you are expected to provide full and explicit explanations of your answers, making reference to the semantics of GPLI. We expect you to use the correct vocabulary in explaining your answers.

(i)  Is the following proposition true or false in the given model? Explain your answer.

i.  Ax¬ (Cx ∨ ¬Cb)

Domain: {1,2}

Referents: b:1

Extensions: C: {1}

(ii)  Is the following proposition true or false in the given model? Explain your answer.

i.  Az(Lcz ∧ Kbz)

Domain: {1,2,3,4}

Referents: c:1, b:2

Extensions: L:{⟨1,2⟩, ⟨1,4⟩, ⟨3,1⟩, ⟨3,2⟩, ⟨1,1⟩}, K: {⟨1,1⟩, ⟨1,2⟩, ⟨1,3⟩, ⟨2,1⟩, ⟨3,2⟩}

(iii)  Is the following proposition true or false in the given model? Explain your answer.

i.  (AzCz → ¬3xCx)

Domain: {1,2}

Extensions: C: {1}

(iv)  Is the following proposition true or false in the given model? Explain your answer.

i.  3z(Lbz ↔ AyLzy)

Domain: {1,2,3}

Referents: b:3

Extensions: L: {⟨1,3⟩, ⟨2,1⟩, ⟨3,2⟩, ⟨3,3⟩}

(v)  Is the following proposition true or false in the given model? Explain your answer.

i.  Az(Kzz → (Kcz → Kzc))

Domain: {1,2,3}

Referents: c:2

Extensions: K: {⟨1,3⟩, ⟨2,1⟩, ⟨2,2⟩, ⟨2,3⟩, ⟨3,1⟩}

(vi)  Provide a model on which the following proposition is true. Explain why the proposi- tion is true on the model you have provided.

i.  (Aa ↔ 3yCy)

(vii)  Provide a model on which the following proposition is true. Explain why the proposi- tion is true on the model you have provided.

i.  ((Lbb ∧ Jab) ↔ AxLxb)

(viii)  Provide a model on which the following proposition is true. Explain why the proposi- tion is true on the model you have provided.

i.  ¬Az3xLxz

(ix)  Provide a model on which the following proposition is true. Explain why the proposi- tion is true on the model you have provided.

i.  3x3y3z(Axyz ∧ x  y ∧ x  z ∧ y = z)

(x)  Explain why there is no model on which the following proposition is true.

i.  Ax((Kxx ∨ ¬Kxx) ∧ x  x)

3.                                            [5 questions, 25 marks, 5 marks per part]

The following questions concern GPLI trees. For each question, clearly state (i) your answer to the question and (ii) explain why the tree justifies the answer you have provided.  Read each question carefully.

(i)  Use a tree to test whether the following proposition is a tautology. If it is not, then, for every open path, read off a model on which the proposition is false. You must complete your tree. Briefly explain why the tree justifies your answer.

i.  (Axa  x ↔ (¬Fxa ∨ Fax))

(ii)  Use a tree to test whether the following propositions are equivalent.  If they are not, then, for every open path, read off a model on which the propositions have different truth values. You must complete your tree. Briefly explain why the tree justifies your answer.

i.  Ax(Fx → Gx), Ax¬ (Fx ∧ ¬Gx)

(iii)  Use a tree or a pair of trees to test whether the following propositions are contraries, contradictories, or neither. You must complete your tree or trees. Briefly explain why the tree or trees justify your answer.

i.  ¬ (AxFx ∨ 3xGx), ¬ (¬AxFx V ¬3xGx)

(iv)  Use a tree to test whether the following argument is valid. If it is not, then, for every open path, read off a counter-model.  You must complete your tree.  Briefly explain why the tree justifies your answer.

i.  Axx = f, (a = f → AxGxx) ∴ (b = a ∧ b = b)

(v)  Use a tree to test whether the following argument is valid. If it is not, then, for every open path, read off a counter-model.  You must complete your tree.  Briefly explain why the tree justifies your answer.

i.  Axx = c ∴ (a = c → AxGxx)

4.                                            [5 questions, 25 marks, 5 marks per part]

The following questions require you to demonstrate a deep understanding of some of the central concepts from the unit. Read each question carefully. Answers up to 150 words will generally be sufficient to demonstrate deep understanding.

(i)  Convert the following proposition into an equivalent proposition using only the con- nectives ¬ , V, and ∨, and the existential quantifier 3 (e.g. ¬3x¬ (Fx V ¬Gx)). You do not have to use all of the connectives. Briefly explain/justify each step you have taken in making the conversion.

i.  ((Ax¬Fx ∨ Ax¬Lx) → 3x(Fx ↔ Lx))

(ii)  Consider the following truth table for the connective #:

What would the unnegated tree rule for the connective # have to look like, in order to have the property of ensuring that if all of the propositions on a path are jointly satisfiable before the rule is applied, for every path all the propositions on the path are jointly satisfiable after the rule is applied? Draw the tree rule and briefly explain your answer.

(iii)  We know that if AxGx is true in a model then 3xGx is true on that model.  We also know that it is not the case that if Ax(Gx → Fx) is true on a model, then 3x(Gx∧Fx) is true on that model. Is there a class of models such that if Ax(Gx → Fx) is true on some model in that class, then then 3x(Gx ∧ Fx) is true on that model?  If there is, what is that class of models?  Explain your answer.  (By ‘a class of models’ I mean something like this:  ‘the class of models with at least two objects in the domain that assign the name ‘a’ the first object in the domain as its referent’).

(iv)  Suppose that the premises of some valid argument in GPLI are logical truths—that is, they are true on every model. Does it follow that the conclusion of the argument is a logical truth? Explain your answer.