1. Probability

This question may be hand-written. Remember to attach it to the rest of the assignment.

A population of a certain species of fruit fly is maintained in a lab.  In the population, 24% of the individuals are black while 76% of the individuals are gray.  Suppose a researcher chooses a fly at random at the population, records the colour, and releases it back into the population. Then a second fly is chosen at random from the population.

(a) Is this an example of independent events or dependent events? Why? [2 marks]

(b)  Calculate the probability that the first fly is black and the second fly is

gray.

[2 marks] (c)  Calculate the probability that both fies are the same colour.

[3 marks]  [Total: 7]

2. Random variable

This question may be hand-written. Remember to attach it to the rest of the assignment.

Notation recap:  to write the probability that the random variable X has the value a, we write P (x = a), not P (x) = a .

The number of TVs sold per day in a shop is a random variable with the following distribution. Note that the maximum number of TVs the shop can sell is 8 due to the availability.

Number of TV’s

 0.23

Let x be the random variable that denotes the number of TVs sold per day in the shop.  Using probability notation and showing your working, answer the following questions:

(a) What is the probability that 8 televisions are sold in a day?

[2 marks]

(b) What is the probability of selling at least one TV in a day?

[2 marks] (c) What is the probability of selling no more than three TVs in a day?

[2 marks] (d)  Calculate the mean value of x .

[2 marks]  [Total: 8]

3. Linear combinations

This question may be hand-written. Remember to attach it to the rest of the assignment.

Assume that you are the sales person of the shop in Question 2 and you are paid a commission for each TV the shop sells.  Calculate your earnings in the following scenarios.  Show your working for full marks.  Hint:  Let your earnings be denoted by Y and write an equation relating Y to the number of TVs x sold per day.

(a) The shop pays you $30 commission for each TV the company sells.

Calculate the average daily commission you receive?

[2 marks]

(b)  On top of the commission of $30, you also receive a fixed daily wage of

$135. Calculate the average daily income you receive in total?.

[2 marks]   [Total: 4]

4. Random allocation of observations

This question must be typed up in  Word.  Remember to attach it to the rest of the assignment.

In Practical 5, we randomly allocated 50 observations of the ”SPIP5.xlsx” data set into two groups of size 25 each. We did the random allocation in R and then analysed the two groups (Group A) and (Group B). In your Word document, include the following:

(a) A table of summary statistics for each group.

The summary statistics needed are the sample mean, sample standard deviation, sample median, sample IQR. (Note: Create a table for each group in your word document and insert these summary statistics into that table.)

[2 marks] (b) A side-by-side box-plot of the observations for each group.

[1 mark] (c) A panel histogram of the observations for each group.

[1 mark] (d)  Compare the distribution of the observations for each group.

Remember to consider shape, location, spread and outliers.

[4 marks]

(e) Assume that the observations given in spreadsheet ”SPIP5.xlsx” are

the percentage loss of timber in 50 wood cubes, when exposed to a par- ticular fungus after two types of wood preservatives, ”A” and ”B” are applied.  According to your randomized data, which type of preserva- tive is better for the wood?  Explain your answer using the summary statistics obtained above?                                                     [3 marks]

[Total: 11]

5. Binomial question

For full marks, please show all working and use probability notation. This question may be hand-written.

In Australia, 27% of the population has type A+ blood.  Consider taking a random sample of 30 Australians.

Let x denote the number of persons in the sample with type A+ blood. (a) What is the distribution of x? Justify your answer.

[5 marks]

(b) Using R, calculate the following.

i. The probability of having no persons with type A+ blood in the sample.

[2 marks]

ii. The probability that at most half of the sample have type A+ blood.

[2 marks]

iii. The probability of between 8 and 15 (inclusive) persons with type

[2 marks]

[Total: 11]

6. Normal question

For full marks, please show all working and use probability notation. This question may be hand-written.

In commercial production of eggs, breakage is a major problem.   Conse- quently, the thickness of the eggshell is an important variable. In one study, the shell thickness of the eggs produced by a large flock of White Leghorn

hens were observed to follow a normal distribution with mean 0.42 mm and standard deviation of 0.04.

Let x be the random variable that represents the shell thickness of a ran- domly selected egg.

Using R, calculate the following:

(a) The  probability that  a  randomly  selected  egg  has  a  shell thickness

greater than 0.4 mm??

[2 marks]

(b) The probability that a randomly selected egg has a shell thickness more

than 0.45 mm or less than 0.39mm?

[2 marks]

(c) The probability that a randomly selected egg has a shell thickness be- tween 0.39 mm and 0.45mm?

[2 marks] (d) The shell thickness c such that 15% of all eggs are less than c??

[2 marks]