Question 1.  Quadratic forms

Let x =  ┌   ┐ Compute quadratic forms xT Ax and xT Bx for the following matrices:

A =  ┌0(4)

B =  ┌4(1)

3(4)┐ λ

Solution. Let’s deal with the first quadratic form. In matrix form we can write

q(x) = xT Ax = ←α 1     α2 │ ┌0(4)   3(0)┐ ┌   ┐α(α)2(1) = ←4α2     3α2 │ ┌   ┐α(α)2(1) = 4α1(2) + 3α2(2)

Alternatively, using double summation, let

A =  ┐ =  ┌0(4)   3(0)┐

so that the quadratic form associated with A can be written as

2      2

z z aijαiαj  = a11 α 1 α 1 + a12 α 1 α2 + a21 α2 α 1 + a22 α2 α2

i=1 j=1

= a11 α1(2) + (a12 + a21 )α1 α2 + a22 α2(2) = 4α1(2) + (0 + 0)α1 α2 + 3α2(2) = 4α1(2) + 3α2(2)

which gives the same result.

Now for the second quadratic form. The associated quadratic form comes out to α1(2)+8α1 α2+3α2(2) using xT  = [ α1   α2 ]. We can check this as follows. From matrix expansion we obtain

q(x) = xT Bx = ←α 1     α2 │ ┌4(1)   3(4)┐ ┌   ┐α(α)2(1) = ←α 1 + 4α2     4α1 + 3α2 │ ┌   ┐α(α)2(1)

= α 1 (α1 + 4α2 ) + α2 (4α2 + 3α2 ) = α1(2) + 8α1 α2 + 3α2(2)

Alternatively, via double summation:

2      2

z z bijαiαj  = b11 α1(2) + (b12 + b21 )α1 α2 + b22 α2(2) = α1(2) + 8α1 α2 + 3α2(2)

i=1 j=1

using the fact that b11 = 1, b12 = b21 = 4 and b22 = 3.

Question 2. Implicit Functions

Consider the equation

f (α．y) = 4α + 2y - 5 = 0

(a)  Rearrange the equation to get an explicit function of y in terms of α, and use this answer

to find dy/dα .

(b) Using the Implicit Function Theorem, calculate dy/dα .  What do you find?  If necessary,

you may use the solution point (α0．y0 ) = (1．0λ5) as a reference.

(c)  Repeat parts (a) and (b) using the equation

分(α．y) = α2 - 3αy + y3 - 7 = 0

If necessary, you may use the point (4．3) as a reference.

Solution.

(a)  The function can be rearranged to give

2y = 5 - 4α

=÷  y =  - 2α

dy

dα

(b)  The Implicit Function Theorem (IFT) says that we can write, via the total differential, df = 4 dα + 2 dy

and if df = 0,

0 = 4 dα + 2 dy

=÷  2 dy = -4 dα

=÷        = -    = -2

dα        2

which gives back the same answer when evaluated at the provided solution point.

(c)  To begin with, we cannot rearrange the function in terms of y, since at most we can get back only an implicit function of y in terms of α .  However, we can still use the Implicit Function Theorem. First, note that

分1(α．y) = 2α - 3y

分2(α．y) = -3α + 3y2

hence via the IFT

dy          g1

=    -

dx        g2

2x - 3y

=    -

3y2 - 3x

and when evaluated at the solution point, we have

 │(4,3) = -  =  :

Question 3.  First and second-order conditions

Consider the function f : R2 → R as defined by

y = f (x1 ; x2 ) = 2x1(2) + x2(2):

(a) Find all stationary points of this function.

(b) For all the stationary points of this function, classify them as a min, max or saddle point.

Solution.

(a)  The first-order conditions state that all first derivatives must be zero:

f1 = 4x1 = 0;

f2 = 2x2 = 0

This gives us a single stationary (critical) point at (x1 ; x2 ) = (0; 0).

(b)  To check the second order conditions (Theorems 12.3 and 12.5), we need to evaluate the

definiteness of the Hessian at the stationary point (0 ; 0). The Hessian is

H(x) = H(x1 ; x2 ) =  

┐ =  ┌0(4)

2(0)┐ :

Note that Hessian is the same at any point (x1 ; x2 ).  We can evaluate its definiteness by forming its quadratic form:

q(z) = zT Az = ←z1

z2] ┌0(4)

2(0)┐ ┌   ┐z(z)2(1) = ←4z2

2z2] ┌   ┐z(z)2(1) = 4z1(2) + 2z2(2):

The quadratic form is clearly positive definite, as q(z) > 0 for any non-zero vector z, z  0, therefore, the Hessian is positive definite (p.d.).  Since H(0; 0), the Hessian evaluated at point (0; 0), is p.d., the stationary point (0; 0) represents a minimum.

As Hessian is the same at any point, it is p.d. at any point x, not only at point x = (0; 0). Therefore, the function y = f (x1 ; x2 ) = 2x1(2)  + x2(2)  is strictly convex (Theorem 11.4). Thus, point x = (0; 0) is the unique global minimum.

Question 4.  Utility maximisation

Use the Lagrange Method to solve the following problem:

x 1 ,x2

Find (α1(*)．α 2(*)) as functions of prices and income, i.e. find α1(*)(p1．p2．y) and α2(*)(p1．p2．y). Solution. The Lagrangian for this problem is

c = ^α 1 +^α2 + 入(y - p1 α 1 - p2 α2 ) λ

FOCs:

 =  - 入p1 = 0．

 =  - 入p2 = 0．

A(A)入(c) = y - p1 α 1 - p2 α2 = 0 λ

We have a system of three equations and three unknowns, α 1 , α2  and 入. Rewriting the system, we have

= 入p1．

= 入p2．

p1 α 1 + p2 α2 = yλ

Dividing the first equation by the second one, we obtain

 =   =÷   = / 、2   =÷  α2 = α 1 λ

Substituting this back into the budget constraint:

p1 α 1 + p2 α 1 = y  =÷  /1 + 、p1 α 1 = y  =÷  / 、p1 α 1 = y

2

(p1 + p2 )p1

We can obtain the optimal value of α2  by substituting this into the expression

p1(2)              p1(2)        p2                          p1          

p2(2)             p2(2) (p1 + p2 )p1           (p1 + p2 )p2

In summary, we have