Question 1. Matrix Operations

Compute, for the following matrices A and B

A = 、 and   B = ,

(a)  AB

(b)  BA

(c)  (AB)T

(d)  (BA)T

and their traces. For AB and (AB)T  also compute the inverses.

Solution.

(a) AB = 、 = 、 = 、 (b) BA = 、 = = (c) (AB)T  = 、

╱ 38   28      5 、

(d) (BA)T  = 36   21    10

(                     |

Further, tT(AB) = 53 + 1 = 54, tT(BA) = 38 + 21 △ 5 = 54, which is also the trace of their transposes. Note that tT(AB) = tT(BA) and tT(C) = tT(CT).

The inverse matrices are calculated by using the following expression, derived in lectures: swap the elements on the main diagonal, and multiply by (-1) the elements on the other diagonal; divide by det(A).

A− 1 =

、 =

△a12

Therefore,

(AB)− 1 = z △22(1)

、 = z △22(1)

、 = △ z △22(1)

△49、

and

((AB)T )− 1 = △

Note that (CT)− 1 = (C − 1 )T ; here C = AB .

1   △49

、.

Question 2. Inverses

For the matrix

AA− 1 = I2 ,

where I2  =  z 0(1)   1(0) 、, following the steps in L9, p.9 to p.11.  Then verify that A− 1  is of the

form given there. What is the determinant of A?

Solution.   Let A− 1 =                     , then from I = AA− 1 , we have

α21 α22

z0(1)   1(0)、 = z1(4)   2(3)、 = 、 .

This gives us four equations that could be split into two systems (two equations for each column):

í

ìα11 + 2α21 = 0

and

í

ìα12 + 2α22 = 1

Solving the first system for α 11  and α21 :

Let’s use the substitution method. From the second equation α 11 = △2α21 , substituting in the first equation: 4( △2α21 ) + 3α21 = 1 gives us α21 =  -1/5 . Substituting back into the expression for α 11 , we obtain α 11 = △2α21 =  2/5 .

Solving the second system for α 12  and α22 :

Let’s solve it by elimination.  Multiplying the second equation by 4 and substracting from the first equation gives us 3α22  △ 4 A 2α22  = △4.  Thus, α22  =  4/5 .  Substituting into the first equation: 4α12 + 3 A 4/5 = 0, we obtain α 12 =  -3/5

Therefore,

A− 1 =

、 = z △ 1(2)

△4(3) 、.

Question 4. The Cofactor Method

Obtain the inverses of the following matrices by using the cofactor method:

Solution.

(a) First, it is necessary to calculate the minors for every element of the matrix A, which

are as follows:

M11 = det z0(1) M12 = det z0(0) M13 = det z0(0)

z

M22 = det z0(1)

1(2)、 = 1

1(2)、 = 0

0(1)、 = 0

、

1(3)、 = 1

M23 = det z0(1) M31 = det z 1(2) M32 = det z0(1)

z

0(2)、 = 0

2(3)、 = 1

2(3)、 = 2

、

Second, we calculate the matrix of cofactors, where cofactors are given by Cij   = ( △ 1)i+j Mij . We then transpose it to get the adjoint matrix:

The determinant of A is simply det(A) = 1 3 1 3 1 = 1 (the product of the elements on the main diagonal), because it is an upper-triangular matrix.  Hence, the inverse of matrix A is

(b)  This repeats the same process as in part (a).

M11 = det z 2(1)

z

M13 = det z △(0)5 M21 = det z 2(2)

z

3(0)、 = 3

3(0)、 = 0

2(1)、 = 5

、

3(△)1、 = △2

M23 = det 、 = 12

z 、

M32 = det z0(1)   1(2)、 = 0

M33 = det 、 = 1

Forming the matrix of cofactors and transposing