Question 1.  Profit maximisation by a perfectly competitive firm

Suppose that a firm operating in a perfectly competitive market has the following cost function:

C(x) = x3 - 20x2 + 120x.

Write down the profit function for the firm when p = 30 and find the output level that maximises its profit.

Solution.   The profit function is equal to the total revenue px minus total cost C(x):

π(x) = px - C(x) = 30x - (x3 - 20x2 + 120x) = -x3 + 20x2 - 90x.

To find maximum, we write FOC:

π \ (x) = -3x2 + 40x - 90 = 0,

which is a quadratic equation. The roots of the quadratic equation of the form y = ax2 + bx +c are given by the following formula

-b 士^b2 - 4ac

2a           .

(You can also use WolframAlpha or similar websites to get an answer.)

We have two solutions to the first-order condition:

x2(*) =  +  s 10.47,        x1(*) =  -  s 2.87,

but it is not clear which one is the profit maximizer.

Thus, we need to use SOC. The second derivative is π \\ (x) = -6x + 40. We need to evaluate it at x2(*) = 10.47 and x 1(*) = 2.87:

π \\ (10.47) < 0       and       π \\ (2.87) > 0.

Therefore,  the  SOC  for  maximum  (π\\ (x* )  <  0)  is  satisfied  for  x2(*)   =  10.47.   The  profit  is

maximised at the output x =   +   s 10.47.  The graph of the profit function is given

below.

Question 2.  Costs and market structure (q.2 from p.264 or 219)

A firm in a competitive market discovers a new production process which gives it the total cost function

C(Q) = 10 ln(1 + Q),

where Q is output. Explain as fully as you can, in both mathematical and economic terms, why there may be a breakdown of perfect competition in this market.

Solution. In a perfectly competitive market, firms are price-takers (take the price as given), i.e., we assume that they can produce any output, no matter how large or small, without affecting the price.

For this particular firm, the marginal cost

MC(Q) = C\ (Q) =

is decreasing in Q:  the more the firm produces, the less it costs to produce an extra unit of output.

The average cost function AC(Q) is also decreasing:

C(Q)      10 ln(1 + Q)

Q                 Q         .

Both marginal and average cost functions reach their maximum at Q = 0 and then tend to 0 when output increases to infinity.

What does this mean for the perfectly competitive market?

Suppose that we have a perfectly competitive equilibrium, with some positive price p* .  Then, for any such price p* , there exists output Q0 such that for any output Q > Q0 the marginal cost MC(Q) is smaller than p*  (for example, take any Q0  greater than ).  Thus, the firm would make a positive profit on any extra unit of output greater than Q0 .

Therefore, to maximise its profit, the firm would want to produce an infinite output, which is not possible in an equilibrium (as the consumer demand is finite for any positive price). Therefore, there is no perfectly competitive equilibrium in a market where firms exhibit decreasing marginal and average costs. In economics, we call this situation a natural monopoly.

Alternatevly, you can use FOC and SOC. The profit function is π(Q) = pQ - C(Q).

FOC:

π \ (Q) = p - C\ (Q) = 0  4告 p = MC(Q) =   4告  Q* =  - 1.

(Note that if p > 10, then π\ (Q) > 0 for any Q; the firm wants to produce infinite output.) For p < 10, checking SOC:

π \\ (Q) = (p - MC(Q))\ = -MC\ (Q) =  > 0.

As π\\ (Q* ) > 0, we know that Q*  gives us a local minimum.

As π \\ (Q)  >  0 for any output,  the profit function is strictly convex and reaches its global minimum at the output Q* , given by the above FOC.

This firm would want to produce infinite amount at any price, in order to maximise its profit. Therefore, perfectly competitive equilibrium does not exist if such a firm is present.                  See desmos graphs at https://www.desmos.com/calculator/5erqdfyez9

Question 3.  Profit maximisation by a monopolist (q.3 from p.264 or 220)

A monopolist faces the inverse demand function

P (Q) = a - bQ

and has the total cost function given by

C(Q) = 10 ln(1 + Q).

Give conditions under which the profit-maximizing output is positive and explain your answer on a diagram.

Solution.   Note first that for the problem to make an economic sense a, b > 0 must be satisfied: positive b guarantees that the demand curve is downward sloping and positive a and b guarantee that the quantity demanded at the price zero is positive .

For the positive profit-maximising output to exist, the following conditions must be satisfied: ❼ A solution to the FOC: π \ (Q) = 0 must exist.

❼ It must give us a local maximum.

❼ It must be the global maximum; in particular, the value of profit at Q*  must be positive

(i.e., greater than π(0) = 0).

Let’s talk about this in more depth. First, the profit function is given by

π(Q) = P (Q)Q - C(Q) = (a - bQ)Q - 10 ln(1 + Q).

Note that when π \ (Q) = MR(Q) - MC(Q) > 0, i.e. when MR is greater than MC, the profit function is inceasing at this value of Q; when π\ (Q) < 0, i.e. when MR is smaller than MC, the profit is decreasing.

The FOC:

π \ (Q) = MR(Q) - MC(Q) = a - 2bQ -  = 0.

Rearranging to get

a - 2bQ =   4告  (1 + Q)(a - 2bQ) = 10  4告

- 2bQ2 + (a - 2b)Q + (a - 10) = 0.

The quadratic formula gives us the solutions to the FOC:

(-a + 2b) 士 ^(a - 2b)2 - 4(-2b)(a - 10)      (a - 2b) 士 ^(a - 2b)2 - 4(-2b)(a - 10)

-4b                                                                   4b                               .

There will be no (real) solution to this FOC if the discriminant (the term inside the square root) is negative. Simplifying, we obtain

D = Discriminant = a2 - 4ab + 4b2 + 8b(a - 10) = (a2 + 4ab + 4b2 ) - 80b = (a + 2b)2 - 80b.

It is non-negative if:

(a + 2b)2 - 80b > 0  4告  a > ^80b - 2b       (**)

Hence, provided that a and b satisfy (**), there is a solution to FOC.

Now we are ready to analyse the monopolist’s problem.

(a) If demand is very small (you can think of it as a small value of a), such that (**) is violated, the profit is maximised at zero output.

Graphically, for such values of a and b, the marginal revenue curve is below the marginal cost curve (they never intersect); producing higher output just leads to more losses; thus, the profit- maximising output is zero. See graph (a).

(b) If demand is small but (**) is satisfied as equality, i.e., Discriminant = 0, the profit is still maximised at zero output.

In this case the marginal revenue and the marginal cost curves are tangent at one point Q* . The marginal revenue is smaller than the marginal cost (so profit is decreasing) both to the

right and to the left of Q* ; they are equal when output is equal to Q* .  Therefore, the point Q*  is an inflection point for the profit function: the profit is decreasing for all values of output.

(The second derivative of the profit function is equal to zero at this output.) See graph (b).

(a)  with profit function                                                            (b)  with profit function

(c) Demand is medium,  not too large:  (**) is satisfied as inequality, i.e., Discriminant > 0, but the profit is maximised at zero output.

We have two solutions to FOC. One of them gives us the local maximum and the other the local minimum.

This is illustrated in graph (c). The demand is large enough so that the marginal revenue and the marginal cost curves intersect twice (as the discriminant is positive).

The first point, point Q1 , is the local min for the profit, since to its left the marginal cost is higher than the marginal revenue (i.e.  the profit is decreasing), and to its right the marginal cost is lower than the marginal revenue (i.e. the profit is increasing). The second derivative of the profit is positive at this point.

At the point Q2 , the marginal revenue exceeds marginal cost to the left of Q2  (i.e. the profit is increasing for Q < Q2 ), and it is lower than the marginal cost to the right of Q2  (i.e. the profit is decreasing for Q > Q2 ). Therefore, the profit is maximised at this point.

Unfortunately, even if Q2  is a local maximiser, this is not the global maximum.  Demand is not strong enough, and the profit at the output Q2  is negative: price is below the average cost

AC(Q2 ). Therefore, the optimal output is Q = 0.

(c) with profit function

(d)  Demand  is  large:   (**) is satisfied as inequality, i.e., Discriminant  >  0, the profit is maximised at a positive output.

This case is the same as (c), but the demand is large enough so the profit achieved by producing Q2 is positive. See graph (d). This is the only case when the profit-maximising output is positive.

(d)

(d) with profit function

Desmos graphs are available at https://www.desmos.com/calculator/fgamk5sxzb

To summarise: when the values of a and b satisfy a >^80b -2b and π(Q2 ) > 0, the monopolist maximises its profit by producing positive output given by

(a - 2b) +^(a + 2b)2 - 80b

4b                     .

Note that the condition π(Q2 ) > 0 does not have an easy algebraic expression involving a and b, and we will not explore it any further.

Question 4.  Utility maximization

Consider a consumer who has the utility function

u(x1 , x2 ) = (x1(ρ) + x2(ρ))1/ρ

and faces the budget constraint

p1x1 + p2x2  < y,

where p1 , p2  > 0 are the prices of goods 1 and 2, y > 0 is income and ρ e (0, 1) is a parameter. Find the utility maximizing quantities of goods 1 and 2 of the consumer, with x1  e R+  and x2  e R+ .

(Hint:  Argue that the budget constraint will bind at the optimal bundle, then solve it for x2 and replace x2  in () by that expression to obtain a function f (x1 ) that only depends on x1 . Solve the first-order condition f\ (x1(*)) = 0 for x 1(*), substitute that back into the expression for x2 to obtain x2(*) . Finally, argue that this is indeed a global maximum.)

Solution. Proceeding along the steps in the hint:

Step 1.  First, note that the utility function u(x1 , x2 ) is increasing in x1  and x2 , as marginal utility with respect to both x1  and x2  is positive (using the chain rule of differentiation):

MUi =  =  (x1(ρ) + x2(ρ))  -1 (ρxi(ρ) -1 ) = (x1(ρ) + x2(ρ))  xi(ρ) -1  > 0,    for any x1 , x2  > 0.

Let’s prove that the budget constraint binds at the optimal bundle, i.e., the consumer spends all her income: her optimal bundle lies on the budget line.

The proof is by contradiction. Assume not, then the optimal bundle costs less than her income. In that case she can spend the money left on good 1, good 2, or both. As her utility function is increasing in each good, her utility will increase.  This contradicts to the assumption that her original bundle is optimal, completing the proof.

Step 2. Expressing x2  as a function of x1  from the budget constraint p1x1 + p2x2 = y gives us x2 = (y - p1x1 )/p2 . Substituting this expression into the utility function u, we obtain

f (x1 ) = /x1(ρ) + / 、ρ、1/ρ .

Step 3. Now we have a function of only one variable, x1 , which we want to maximise. The FOC (using the chain rule of differentiation) is

f\ (x1 ) =  /x1(ρ) + / 、ρ、  ┌ρx1(ρ) -1 + ρ / 、ρ -1 (-1) ┐ = /↘x1(ρ) + / 、ρ 、1 p(_)-(p) ┌x1(ρ) -1 - / 、ρ -1  / 、┐