Question 1.  Discontinuities

Show that the function f : R t R defined as

f(x) = ．1,

(-1,

x < 0

x > 0

is discontinuous at x = 0 using the negation of the ε-δ definition of continuity at a point z . Nint↓  you need to show thbt there ezists bn ε > 0 such thbt for bny δ > 0 there ezists x ∈ R

such thbt —x - z— < δ óut —f(x) - f(z)— > ε .

Answer: Below is a plot of f(x).

Plot of f (z)

-1       -0.8     -0.6     -0.4     -0.2        0        0.2       0.4       0.6       0.8        1

z

We want to show that the function is not continuous at x = 0. Logically speaking, if a statement is false, then its negation must be true.  Therefore, we take the ε-δ definition of continuity at point z and negate it to conclude that function f is not continuous at point z if

刁ε > 0 : Ⅴδ > 0, 刁x ∈ R : —x - z— < δ but —f(x) - f(z)— > ε . Note that this is the same as

刁ε > 0 : Ⅴδ > 0, 刁x ∈ R : x ∈ (z - δ, z + δ) but f(x)  (f(z) - ε, f(z) + ε).

Intuitively, the function f is not continuous at point z, if we can always find point x that is bróitrbrily close to z , but at which the value of the function, f(x), is _fbr bwby_ from f(z).

From the plot we can see that f (0) = 1 and for any positive x, f (x) = -1.  Thus, for these x, the distance between f (0) and f (x) is |f (x) - f (0)| = 2.  Given this observation, we can see that any value of ε less than or equal to 2 will satisfy the negation above.

Thus, let’s choose ε = 0.7.  Now consider any δ > 0.  For such δ, we need to pick a value of x

from the interval (-δ, δ) as z = 0. So let us pick x > 0 such that 0 < x < δ . Then |f (x) - f (0)| = | - 1 - 1| = 2 > 0.7 = ε .

This is true for any value of δ: as long as δ is not equal to zero, we can always wedge a value of x between zero and δ (for example, x = δ/2) such that |f (x) - f (0)| > ε = 0.7 (i.e., the value f (x) will be outside the pink ε -band on the graph).

Thus, we found the required value of ε = 0.7 such that for any δ > 0 there exists x = δ/2, such that |x - 0| = δ/2 < δ but |f (x) - f (0)| = 2 > 0.7 = ε . Therefore, the function is discontinuous at x = 0.

Question 2.  More discontinuities

For each of the following functions, indicate at which point(s) the function is discontinuous and explain which of the conditions of continuity is not satisfied.  (Fo not use the ε –δ de戎nition in ezplbining your bnswer!)

If the function is undefined at some point, is it possible to assign a value to the function at this point in such a way as to make it continuous?

Graph each function over R.

(a)  f (x) =．,2x + 3,    x < 1

(x + 5,      x > 1

(b)  f (x) =

(c)  f (x) =

(d)  f (x) =                    (Hint: factorize the denominator.)

Answer:  Recall that the conditions for the continuity of the function f (x) at point z are (1) the limit of the function at point z must exist and (2) it must be equal to the value of the function at that point.

The condition (1) itself requires left-hand limit (LHL) to exist, right-hand limit (RHL) to exist, and for them to be equal to each other.

Therefore, we are checking that LHL = RHL = f (z), or, in proper math notation,

lim  f (x) =  lim  f (x) = f (z).

3→o −                       3→o+

6

4

2

0                                                                -1             0              1              2              3

2

Plot of f (2) =

1000

800

600

400

200

0

(a)  There is a single discontinuity at x = 1. The reason for this is that lim3→ 1 f (x) does not

exist.  In particular, the left-hand and right-hand limits exist, but they are not equal to each other: LHL = lim3→ 1 −  f (x) = 5, RHL = lim3→ 1 −  f (x) = 6.

(b)  There is a discontinuity at x = 0 as both the right-hand and left-hand limits don’t exist: LHL = lim3→0 −  f (x) = -&, RHL = lim3→0+  f (x) = +&.  Furthermore, f (0) is not defined. If we define f (0) = a, then, no matter what value of a we choose, the function is still discontinuous at x = 0 because RHL and LHL do not exist.

(c)  Single discontinuity at x = 3 since both LHL and RHL don’t exist; thus, lim3→3 f (x) does not exist. Furthermore, f (3) is not defined. If we define f (3) = a, then, no matter what value of a we choose, the function is still discontinuous at x = 3 because RHL and LHL do not exist.

(d) Factorizing the expression yields the function

x - 2                x - 2               1   

=                                                                                           =

x2 - x - 2      (x - 2)(x + 1)      x + 1 .

Now, the plot of this function itself might suggest a single discontinuity, but there are in fact two discontinuities. Why might this be?

First, let’s check the limit at x = -1.  This does not exist since neither LHL nor RHL exists; hence there is a discontinuity at x = -1. Assigning some value to the function at this point will not remove the discontinuity.

The other point of discontinuity is at x = 2. Observe that

3 f (x) = 3+ f (x) =  ,         so         l3 f (x) =

but f (x) itself is not defined at x = 2 since we arrive at 0/0 after substituting x = 2 into the original expression (not the factorized one). Thus, the limit of the function exists but the function itself is undefined at x = 2, so the function is not continuous at this point. If we define f (2) to be 1/3, then the function will be continuous at this point.

Question 3. e-6 continuity

Use the ε-δ definition of continuity to verify the following statement:

复or a, b, c ∈ R; the function f (x) = ax + b is continuous bt bny point x = c !

You may find the following result useful:  |xy| = |x||y|.

Answer:  To prove continuity at point c, we need to find δ for any ε such that for any x we have |x - c| < δ  =÷  |f (x) - f (c)| < ε . Intuitively, we need to show that for all x _close to_ c, the values f (x) are _close to_ f (c):

x ∈ (c - δ, c + δ)  =÷  f (x) ∈ (f (c) - ε, f (c) + ε).

The most straightforward way to proceed is to explicitly solve for δ as a function of ε .  How could we achieve this? Ultimately, we want to arrive at the expression

|f (x) - f (c)| < ε .

Let’s plug the functional form into it:

|f (x) - f (c)| = |ax + b - (ac - b)| = |ax - ac| = |a||x - c|.

Thus,

|f (x) - f (c)| < ε     if and only if     |a||x - c| < ε     if and only if     |x - c| <

(We assume a  0 here; do it yourself for a = 0.)

That’s it, we got it! For any ε, we can choose δ(ε) = ε/|a|. Now we can proceed with the formal proof.

Theorem. 复or bny a, b, c ∈ R; the function f (x) = ax + b is continuous bt x = c !

Proof. Let ε > 0 and take δ = |a(e)| . Then, for any x that satisfies |x - c| < δ, we have

ε

|a|

as required. Thus, the function is continuous at the point x = c.

If you prefer, you can also write the proof using the following notation:

Aε > 0, 3δ =       > 0 : Ax ∈ R we have |x - c| < δ  =÷

ε

|a|

|f (x) - f (c)| < ε .

Since our choice of c was arbitrary, this holds for any c ∈ R and hence the function f (x) is continuous on R by the ε-δ definition of continuity.

aote thbt you can also choose different δ , for example, δ =  or δ = 9 | , but not δ =  .

Question 4.  Continuity of a piecewise defined function

Consider the function f : R → R defined by

f (x) =．,x + 1,    x > 1

(2x,         x < 1

Show, using the ε-δ definition of continuity, that f (x) is continuous at x = 1.

Answer:  Our conjecture is that the function is continuous at point x = 1 (try graphing it)! However, the slopes of the function are different, depending on the direction from which we approach x = 1. So we should do two lots of calculations – one for each side of x = 1.

If we look on the right hand side of x = 1, then the calculations to find an appropriate δ

look as follows:

|f (x) - f (c)| < ε  午÷  |x + 1 - 2| < ε  午÷  |x - 1| < ε,

which implies that we could choose δ2 = ε .

But what about approaching from the left hand side? The calculations are as follows:

ε |f (x) - f (c)| < ε  午÷  |2x - 2| < ε  午÷  2|x - 1| < ε  午÷  |x - 1| <

So the left hand side suggests we should pick δ 1 =2(e) .

This brings up an interesting point:  if we choose δ = ε, this will work for the right hand side but not for the left hand side. Therefore, we need to pick the smallest δ:

δ = min {ε,  } =  .

The formal proof then proceeds as follows.

Proof. Let ε > 0 and take δ =  . Then for any x satisfying |x - 1| < δ =  we have for x < 1 (on the left):

ε

2

and for x > 1 (on the right):

|f (x) - f (c)| = |2x - 2| = 2|x - 1| < 2δ = 2    < ε,

as required. Therefore, we conclude that the function f (x) is continuous at x = 1 according to the ε-δ definition.

Could you choose δ = ? What about δ = 7ε?

Question 5.  Discontinuity in Hotelling’s Location Model

Reconsider Hotelling’s location model from L4 where firm 1’s market share at location x1  ∈ [0, 1]

is

,

． ． ．

σ 1 (x1 ) = ．

． ． ．

31+32

2

1

2

1 - 31+32

2

if   x1  ∈ [0, x2 )

if   x1 = x2

if   x1  ∈ (x2 , 1].