Question 1.  True or False?

Mark each statement as True or False. Justify your answer.

(a)  The only case where p ÷ q is false is when p holds but q does not.  Note that p ÷ q is

equivalent to “if p then q”, and to “p implies q” .

Complete the truth table for the implication p ÷ q, where T = true and F = false:

Note that, by convention, if p is false, then implication p ÷ q is always true, whether q is true or false.

(b)  “If p then q” is equivalent to “p whenever q” .

(c)  “A implies B”, formally written as “A ÷ B”, is equivalent to saying “A is sufficient for

B” and to saying “B is necessary for A” and to saying “not B implies not A” . Answer:

(a)  True. If p is true while q is false, the statement “p implies q” is false; if both p and q are

true, then implication is true.

Convince yourself by taking p:  “being in Switzerland” and q:  “being in Europe” .  Then the statement  “p implies q” is true; and q holding while p does not does not invalidate the statement (since you could be in Italy).

In contrast, with q and p the same, the statement “q implies p” is evidently false (since you could be in Italy).

(b) False.   The statement  “p whenever q” is logically equivalent to q   =÷   p  (“q implies

p”), which is not the same as p ÷ q .  Consider the examples from (a):  ”If Simon is in Switzerland, then he is in Europe” is not logically equivalent to ”If Simon is in Europe, then he is in Switzerland” .  Indeed, the first implication is true, while the second one is false.

(c)  True.   The first two statements are equivalent ways of saying  “A implies B” in plain English.  Again, convince yourself by taking A to say:  “being in Switzerland” and B to say:  “being in Europe” . Being in Switzerland is sufficient to being in Europe (if you are in Switzerland, then, of course, you are in Europe).  Being in Europe is necessary for being in Switzerland.

Statements “A implies B” and “not B implies not A” are logically equivalent. Statement “not B implies not A” is called a contrapositive statement. Convince yourself by consid- ering the following statements: ”If Simon is in Switzerland, then he is in Europe” and ”If Simon is not in Europe, then he is not in Switzerland” . They are clearly equivalent (and true) statements.

Question 2.  Location, Location, Location

Consider consumers of mass m  >  0 who are distributed over an interval  [a, b] with a  <  b according to some distribution.  (Alternatively, you can think that there is a finite and positive number m of consumers located on this interval.)

There are two firms (called the incumbents) located on the interval: one is located at point a and the other one is at point b. The new firm (called the entrant) can choose to locate at any point x in [a, b].

Consumers go shopping at the firm that is closest to their locations (it could be an incumbent at a, an incumbent at b or the entrant at x). Assume that when a consumer is indifferent between an incumbent and the entrant, she always goes to the entrant.

For example, if the entrant locates at x in (a, b), it will attract all consumers located in [(a + x)/2, (x + b)/2]: consumers located at point (a + x)/2, in the middle between incumbent at a and the entrant at x, will go the the entrant; so will all the consumers at point (x + b)/2, and so will all the consumers located between these two points.

consumers who go     go to                 consumers who go to

to Incumbent at a        Entrant             Incumbent at b

a   (a+x)/2  x       (x+b)/2      b

Another example: if the entrant chooses a, it gets all the consumers to its right that do not go to the incumbent at b, i.e., everyone located in [a, (a + b)/2].

The entrant wants to maximize the number of consumers it attracts.

Assume that the entrant knows the distribution of the consumers on the interval (i.e. it knows where each consumer is located), but you do not have this information. Show that the entrant, when locating at its optimal point, always gets at least a half (i.e. m/2) of all consumers.

Hint 1:  this is a pure problem on logic; you do not need to have any extra economic knowledge .

Hint 2:  look in the corners .

Answer: We want to show that at the optimal location, the entrant always gets at least half (m/2) consumers.  The entrant knows the distribution of consumers on the interval, and so is able to calculate its optimal location x* : For each x, the entrant can calculate how many people are located on interval [(a + x)/2, (x + b)/2].  The value of x that gives the higest number, is the optimal point.                                                                                                                             Unfortunately, we do not know the distribution of consumers and, thus, are not able to find optimal x* .                                                                                                                                        Instead, we will show that if entrant locates at a or b (whichever results in more customers), the firm will attract at least m/2 consumers. Therefore, just choosing the best of these two points will guarantee the entrant at least m/2 consumers. But this point may not be optimal! When the entrant is at the optimal location, it must get at least as many customers as it could get by locating at a or b, so the firm will get at least m/2 consumers at the optimal point.                  If the entrant chooses x = a, it gets all the consumers located on the interval [a, (a + b)/2]; if it locates at x = b, it gets everyone on the interval [(a + b)/2, b].  One of these intervals must contain at least m/2 consumers: If each of them has fewer than m/2, then together they have less than m, which is impossible, as the total number of consumers on [a, b] is m. (Nice example of proof by contradiction.)                                                                                                                Therefore, the entrant can always get at least half of all consumers by locating at the best point out of a and b, and that proves that the entrant gets at least m/2 consumers when it chooses its location optimally.

Question 3.  True running

Are the following statements true or false?  Explain.  “If someone runs 14 km in 56 minutes, then this person...

(a)  ...runs a contiguous stretch of 10 km in 40 minutes or less.”

(b)  ...runs a contiguous stretch of 5 km in 20 minutes or less.”  This question is quite tricky.

Hint for  (a):  if your  answer is  ”true”, please provide  a  careful  argument  why  it  must  be  the case .  If your answer is  ”false”, please provide an example of a schedule when someone runs any contiguous stretch of 10 km in more than 40 minutes, yet runs the whole  14 km in 56 minutes (this is called a proof by construction) .

Answer:

(a) False.  This question tries to trick our intuition.  If someone runs 14 km in 56 min, it on

average takes 4 min/km (inverse of speed; the speed is = 14/56 = 0.25 km/min). Running 10 km in 40 min also averages to 4 min/km.  Thus, it seems intuitive that the answer is ”true” . It can’t be the case that it takes you to run any contiguous stretch of 10 km more than 4 min/km on average (too slow), but for the whole 14 km it takes you only 4 min/km on average, can it? Well, it can.