Problem 1:  Concave and convex functions and their inverses Let

f  : X → Y with X  S R and Y S R be a function whose inverse f -1 (y) exists and is denoted g(y), that is, g(y) = f -1 (y).                                          a) Assume first that f is twice differentiable, that is, f\  and f\\  exist, and that f\    0 everywhere.  Under what condition does strict convexity of f imply strict convexity of g, and under what conditions does strict convexity of f imply strict concavity of g? [10 Points]

b) Now drop the assumptions of differentiability.  Do the results above ex- tend? Your explanation may be formal or verbal.  [10 Points]

Problem 2: Monopoly pricing Consider a monopoly seller who faces the

inverse demand function

P (Q) =

if   Q e [0, 4]

if   Q e (4, 16] .

(1)

Suppose the seller has a quantity of 4 for sale, that is, the cost of producing (or selling) a quantity of 4 or less is zero, and selling any larger quantity is prohibitively costly (or simply impossible). Find the revenue maximizing two-price mechanism for selling these 4 units.  Say also how much revenue the monopoly makes using this two-price mechanism, and how much revenue

it would make if it were required to set a single price.  [20 Points]

Problem 3:  Linear algebra

a) Find the inverse of the matrix A = ╱ 1(3)   2(4) ← . [8 points]

b) For the transition probability matrix

whose entries pij  give the probability of moving from state i into state j ,

find the stationary distribution x =    ．(、) , which satisfies xT P = xTand

i(3)=1 xi = 1.  [12 Points]

Problem 4:  Cost minimization Assume a continuum of consumers are uniformly distributed along the interval [0, 1]. A social planner chooses the placements of n  e {1, 2}  “shops” .   Consumers have linear transportation costs and visit the shop that is closest to their location.

a) For n = 1 and n = 2, derive the transportation costs minimizing place- ments,  and the minimum cost associated with each of these.   Check the second-order conditions as well.  [12 Points]

b) Suppose now that setting up the second shop comes at a cost k  > 0, determine as a function of k under what conditions the social planner would set up n = 2 shops and when only 1 shop, assuming that the planner aims to minimize the sum of consumers’ transportation costs and the cost of setting up shops.  (Assume that setting up the first shop has 0 costs.)  [8 Points]

Problem 5:  Stagecoach problem Consider the variant of the stagecoach problem displayed in Figure 1 for a travelling business man who has to go from A to J. The traveller can only move from left to right, so from A he can go to B, C or D and from each of these locations to either E, F or G, and from each of these to either H or I, and then from there to J. The costs for each leg of the journey are displayed in the four tables below, whose entries ahk  give the cost from travelling from h to k . Find the minimum cost from traveling from A to J and say which route(s) minimize the cost of travelling from A to J. Is there a unique cost minimizing route?

In your working, denote by V (X) the minimum cost from point X on- wards and by a(X) the optimal action(s) at point X, using lower case letters to indicate an action, e.g. a(X) = y means that at X one travels to Y .  [20 Points]