Author:  Geoff Shuetrim

1.  (15 points)  Matilde’s ARIMA EMH testing

Matilde has a 5 year history of daily data on the total return index for an asset denoted, vt , in period t.

She first wants to confirm her view that the natural log of the raw data is likely to have at least one unit root.  She tests for at least one unit root in the natural log of the total return index using an Augmented Dickey Fuller test, allowing for both drift and a deterministic trend.  Her test results are reported below, based on estimation of the regression:

∆xt  = α + βxt - 1 + γt + δ∆xt - 1 + et

where xt  = 100  × ln (vt ).

(a)  (1 point) What feature of the total value index justified using the natural log of the total value index in the Augmented Dickey Fuller test?

(b)  (5 points) Write up the formal Augmented Dickey-Fuller test, allowing for both drift and a deter- ministic trend.  Perform the test at the 5% level of significance, using the corresponding critical value, -3.41.  Make sure you include all steps from the statement of the null and alternative hy- potheses to the final conclusion.

She then uses her data to test the weak form of the Efficient Markets Hypothesis.

She does so by computing the the daily rate of return on the asset, expressed as a percentage:

rt  = 100  × (ln (vt ) - ln (vt - 1 ))

She estimates two models:

. an ARMA(1,1) model, rt  = µ 1 + φrt - 1 + u1t + θu1t - 1  with i.i.d. error term u1t  ~ N ╱0, σ1(2)、

. an ARMA(0,0) modelmodel (constant mean plus white noise), rt  = µ2 + u2t  with i.i.d.  error term u2t  ~ N ╱0, σ2(2)、

(c)  (1 point) Was she using continuously-compounded rates of return or simple rates of return in the two models?

Her estimation results are shown in the tables below.

ARMA(1,1) model estimates

ARMA(0,0) model estimates

(d)  (2 points)  Briefly explain the difference between the strong and weak forms of the efficient markets hypothesis.  [2 points]

(e)  (5 points)  Use her results to perform a Likelihood Ratio test of the joint exclusion restrictions on the lagged dependent variable and the lagged error in the ARMA(1,1) model. Perform the test at the 5% level of significance, being clear about the distribution that the decision rule is based on.

(f)  (1 point)  Briefly explain the implications of her research for the weak form of the efficient markets hypothesis.

2.  (15 points)  Aaron CAPM testing

Aaron wants to estimate the CAPM Security Market Line (SML). He has monthly data for 20 years on:

. the average simple monthly returns for 500 randomly selected assets, rit ;                     . the average simple monthly rate of return on a short-term government bond, rf t ; and

. the average simple monthly rate of return on a proxy of the market portfolio, rmt The SML model specification is:

i  = V0 + V1 βi + ei

Aaron’s supervisor suggests that he make it possible to estimate the SML regression by first running a time-series regression for each asset to get estimates of βi  for each asset. These estimates could then be used as proxies for the true value of βi .

Aaron follows this advice and runs the time-series regression for each asset, using all 20 years of data. This produces a single estimate of βi  for each asset, βˆi .

Aaron also averages the simple monthly returns for each asset over the full 20 years to obtain the dependent variable in the SML model specification.

(a)  (3 points)  Explain the consequences for Aaron’s OLS estimates of the SML model coefficients if the measurement error in βˆi  is positively correlated with βˆi .

(b)  (3 points)  Outline and justify the steps in a portfolio formation strategy that Aaron could use to mitigate the problem identified in part A.

Assume that Aaron has managed to mitigate the problem identified in part C and has used OLS to estimate the coefficients of the following augmented version of the SML regression model:

i  = V0 + V1 βˆi + V2 βˆi(2) + ei

as well as the coefficients on the standard SML regression model:

i  = V0 + V1 βi + ei

The cross-section regressions used 15 observations. The OLS results are reported in the table below.

Over the sample period, the average risk-free monthly simple rate of return was 0.26%.

Over the sample period, the average monthly simple rate of return on the proxy for the market portfolio was 0.77%.

(c)  (5 points)  Report the results, at the 5% level of significance, of an exclusion restriction test for the βˆi(2)  regressor in the augmented regression, being clear about your rationale for the distribution of the test statistic.

(d)  (4 points)  Discuss the consistency of the reported estimates with the implications of the risk-free asset CAPM.

3.  (15 points)  Bilbo’s GARCH model

Bilbo models the daily continuously-compounded rate of return on an asset, rt , as:

rt  = µ + ut

where:

. ut  = σt et

. the shocks, et , are i.i.d. et  ~ N (0, 1)

. in the unrestricted model, σt(2)  = α0 + α 1 ut(2)- 1 + α2 ut(2)-2 + α3 ut(2)-3 + β1 σt(2)- 1

. and in the restricted model, σt(2)  = γ0 + γ1 ut(2)- 1 + δ1 σt(2)- 1

Estimates for the unrestricted model and the restricted model, using 530 observations, are shown in the following tables.

Unrestricted model:

The maximised log-likelihood value for the unrestricted model is 85.0.

The maximised log-likelihood value for the restricted model is 80.0.

(a)  (2 points) What restrictions are required to simplify the unrestricted model to the restricted model? (b)  (7 points)  Perform a likelihood ratio test of the restrictions needed to simplify the GARCH(1,3) model to a GARCH(1,1) model. Write up the hypothesis test in full using a 5% level of significance.

(c)  (2 points) What typical characteristic of high-frequency financial returns is the variance equation in the GARCH model intended to capture?

(d)  (2 points) What is the estimated unconditional variance of the the error term, ut , in the GARCH(1,1) model? Show your working.

(e)  (2 points) What is the estimated unconditional variance of the the error term, ut , in the GARCH(1,3) model? Show your working.